专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(苏科版）

专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 10 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 16 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 26 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（2023春·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为原点），A两点，已知二次函数图象经过点，且其对称轴为直线．    (1)试确定二次函数的表达式； (2)已知y轴上一点，点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求S与t之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 【变式训练】 1．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点C，对称轴为直线，点的坐标为．      (1)求该抛物线的表达式及顶点坐标； (2)在直线的下方的抛物线上存在一点M，使得的面积最大，请求出点M的坐标 (3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作交轴于点，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； 3．（2023春·江西宜春·八年级校考期末）如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．    (1)求b，c的值． (2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由． (3)如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标． 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：    (1)运动开始后第几秒时的面积等于． (2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【变式训练】 1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．    (1)求a的值． (2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围． (3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一