特训04 圆的基本性质 压轴题（浙江期中期末精选）-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训04 圆的基本性质 压轴题（浙江期中期末精选） 一、解答题 1．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”． (1)如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①是弧的“幸运角”吗？请说明理由； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数； (2)如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 2．（2022秋·浙江·九年级期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） (3)如图②，在中，，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形（除菱形外）？请说明理由．若此时，，求的长． 3．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“互余三角形”．如图1，在和中，若，且，则和是“互余三角形” (1)以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是______；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，等腰直角，其中，点D是上任意一点（不与点A、B重合），则图中△______和△______是互余三角形，并求证：． (3)如图3，的半径为5，四边形是的内接四边形，且和是“互余三角形” ①求的值； ②若°，求和的周长之差． 4．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，当时，，求r的值； (4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示） 5．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）如图1，已知等腰内接于，，，是上的一个动点，连接并延长，点在射线上，且． (1)如图2，若是的直径． ①求的半径长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，当与的一条边平行时，求的长． 6．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）新定义：如图1（图2，图3），在中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 (1)①若是等边三角形（如图2），，则______________． ②若（如图3），， _____________． 【猜想论证】 (2)在图1中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形） 【拓展应用】 (3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长． 7．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 8．（2022春·浙江·九年级期末）已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接． (1)如图1，当点在同一条直线上时，求证：． (2)如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时． ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点，连接．求证：． 9．（2022秋·浙江湖州·九年级校考期中） (1)发现，如图1 ， 在平面内， 已知的半径为为外一点， 且为A上一动点， 连接， 易得的最大值为___________，最小值为__________．（用含的代数式表示） (2)应用，①如图2， 在矩形中， 为中点， 为边上一动点， 在平面内沿将翻折得到， 连接， 则的最小值为___________． ②如图3，为线段外一动点，分别以为直角边，为直角顶点，作等腰和等腰， 连接． 若， 求的最大值． (3)拓展：如图4， 已知以为直径的半为上一点， 为弧 上任意一点， 交， 连接， 若， 则的最小值为____________． 10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，在边上，圆为锐角的外接圆，连接并延长交于点． (1)若，请用含的代数式表示； (2)如图2，作，垂足为，与交于点，已知． ①求证：； ②若，，求的