微专题02：有关不等式恒成立问题-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重要专题复习课课件（沪教版2020必修第一册）

第 2 章 等式与不等式 【沪教版2020】高中数学必修第一册 微专题：有关不等式恒成立问题 相关知识梳理 00. 相关知识梳理 00. 例析不等式恒成立问题 01. 方法归纳 例析不等式恒成立问题 01. 注意点：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0; y 例析不等式恒成立问题 01. 有关：在给定范围内恒成立的问题 在给定范围内的恒成立问题 （1）当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 ⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. （2）当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 ⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 例析不等式恒成立问题 01. D 例析不等式恒成立问题 01. 解得x<－1或x>3. 例析不等式恒成立问题 01. 因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅， 所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R. 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意； 当a－2≠0，即a≠2时， 解得－2<a<2；综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}. 课堂练习 03. 【解析】当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意； 当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得 ≤k<0， 综上，实数k的取值范围是 ≤k≤0. D 课堂练习 04. B 【解析】因为命题“对于任意的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4， 结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. [1,3] 课堂小结 04. 附：不等式能成立问题 05. 【解析】记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知， 不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0， 解得m>－5. {m|m>－5} (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 附：不等式能成立问题 05. 例8、若存在x∈R，使得 ≥2成立，求实数m的取值范围. ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴实数m的取值范围为{m|m≥－2}. 有关不等式恒成立 求参数的取值范围的方法 y≤a恒成立⇔ymax≤a y≥a恒成立⇔ymin≥a 不等式中的恒成立问题 1、不等式的解集为R的条件 不等式的解集为R(或恒成立) 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 a≠0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0)) 2、有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 y≤a恒成立⇔ ≤a y≥a恒成立⇔ ≥a ymax ymin 【思考】 不等式f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？ 提示：数形结合与归纳得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0)) 例1、关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围． 有关：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【提示】　eq \x(a2－1＝0时转化不等式求解)→eq \x(a2－1≠0时数形结合转化)→eq \x(解不等式组)→eq \x(得解) 【解析】①若a2－1＝0，即a＝±1时， 若a＝1，不等式变化为－1<0，解集为R； 若a＝－1，不等式变为2x－1<0，解集为{x|x<eq \f(1,2)}．∴a＝1时满足条件． ②若a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,Δ＝[－a－1]2＋4a2－1<0.)) 解得－eq \f(3,5)<a<1；综上所述，当－eq \f(3,5)<a≤1时，原不等式解集为R. 解决一元二次不等式在某范围上恒成立问