特训07 圆锥曲线压轴题（八大题型归纳）-2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第一册，浙江专用）

特训07 圆锥曲线压轴题（八大题型归纳） 题型1：弦长问题 题型2：中点弦问题 题型3：面积问题 题型4：取值范围问题 题型5：定点问题 题型6：定值问题 题型7：向量共线问题 题型8：最值问题 题型1：弦长问题 1．已知椭圆的左右顶点分别为A，B，椭圆E与抛物线的准线相切，椭圆的左焦点F到A，B两点的距离之积为3. (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q，直线BP，BQ分别与y轴交于点M，N，则，求直线PQ的方程. 2．已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为． (1)求双曲线C的方程； (2)已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标． 3．若A、B是抛物线上的不同两点，弦（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”．给定． (1)证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2)试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由． 题型2：中点弦问题 4．已知椭圆的一条弦的中点为． （1）若直线的斜率为且不过坐标原点，求直线的斜率； （2）若直线过椭圆的右焦点，且不与轴垂直，斜率不为零，试问在轴上是否存在一点，使，且以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点． (1)求线段PQ中点纵坐标的值； (2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且. (1)求的离心率； (2)设是与的公共点，若，求与的标准方程； (3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求. 题型3：面积问题 7．如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．    (1)求证：直线过定点； (2)设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围． 8．已知O为坐标原点，抛物线的方程为，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延长，分别与椭圆交于P，Q两点．    (1)求的值； (2)若恒成立，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程（其中，分别是和的面积）． 9．已知点在双曲线上，且的离心率为，直线交的左支于，两点，直线，的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若，直线，与轴的交点分别为，，求的面积． 题型4：取值范围问题 10．已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为． (1)求C的方程； (2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围． 11．已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.    (1)求双曲线的方程； (2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由. (3)设和的面积分别为和，求的取值范围. 参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为. 12．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围． 题型5：定点问题 13．在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线､的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由. 14．已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 15．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点是双曲线上异于的两个不同点，且，证明：直线过定点，并求出定点坐标. 题型6：定值问题 16．已知抛物