4.1 数列的概念-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》 4.1　数列的概念 [核心素养·学习目标] 课程目标 学科素养 A.理解数列的有关概念与数列的表示方法. B.掌握数列的分类. C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法. D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类 2.逻辑推理：求数列的通项公式 3.数学运算：运用数列通项公式求特定项 4.数学建模：数列的概念 课前预习 一、 数列及其有关概念 (1)按照 排列的 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的 (通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的 ……排在第n位的数称为这个数列的 (2) 数列的一般形式可以写成 ，简记为 二、通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 三、数列的分类 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做 数列． (2)按项的大小变化分类， 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 ； 各项相等的数列叫做 ； 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 知识讲解 【知识点总结】 知识点一　数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二　数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ 【大招总结】 1、数列的概念 （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． 2、数列的项： 数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号． 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 3、数列的一般形式： 与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项． 4、数列的分类 （1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 （2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 5、数列的通项公式与前n项和 （1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的． 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否