9.15 十字相乘法（讲+练，5大题型）-【划重点】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（沪教版）

9.15 十字相乘法 1.理解十字相乘法的概念 2.掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的方法 3.经历十字相乘法中的“凑数”过程，感受“特殊到一般”的数学思想. 知识点一 十字相乘法 1.定义 一般地，可以用十字交叉线表示: 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 2.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式; （2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式= 注意: 公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体. 3.用十字相乘法分解因式的符号规律 （1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同; （2）当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大; （3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项. 即学即练1 二次三项式能在整数范围内分解因式，则为 ． 即学即练2 分解因式： (1)； (2)． 即学即练3 用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型一 因式分解 例1（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解： ． 举一反三1（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：． 举一反三2（2020秋·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）因式分解： ． 题型二 整体思想因式分解 例2（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：． 举一反三1（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：． 举一反三2（2020秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解： (1)． (2)． 题型三 高次因式分解 例3（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：． 举一反三1（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：． 举一反三2（2023秋·山东威海·九年级校考阶段练习）分解因式：． 题型四 规律探究 例4（2021秋·上海·七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：，按照这种运算的规定：请解答下列各个问题： (1)＝ ；（只填最后结果） (2)当x＝ 时，；（只填最后结果） (3)将下面式子进行因式分解：．（写出解题过程） 举一反三1（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）观察下列方程①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．请写出第个方程是 ． 举一反三2（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）小明通过观察下列式子：①；②；③；④，发现了含相同字母且字母系数为1的两个一次二项式的积的规律． (1)上述规律可总结为：________； (2)我们知道整式乘法与因式分解是方向相反的两种运算，那么通过（1）中得到的规律分解因式： ①， ②； (3)若可分解为两个一次二项式的积，请直接写出整数p的所有可能值． 题型五 十字相乘求参数的值或取值范围 例5（2022秋·上海普陀·七年级统考期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ． 举一反三1（2020秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考阶段练习）已知多项式可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是 举一反三2（2021秋·上海浦东新·七年级校考期末）要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ． 1、 单选题 1．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2022秋·上海·七年级期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·上海·七年级期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、 填空题 1.（2022秋·上海青浦·七年级校考期末）因式分解： ． 2．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）在实数范围内分解因式：= ． 3．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：（