4.3 组合（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4．3　组　合 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，理解组合的概念． 2.能利用计数原理推导组合数公式并能解决简单的实际问题． 重点 难点 重点：用组合数的计算公式解决一些简单的应用问题． 难点：掌握常见组合问题的求解方法. 第1课时　组合的概念及组合数公式 1．组合 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 对组合概念的理解 (1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求． (3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合． —————————————————————————————————————— 2．排列、组合的相同点与不同点 相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题 不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序 1．判断正误 (1)1,2,3与3,2,1是同一个组合．(　 ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．下列四个问题属于组合问题的是(　 ) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：选C　A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题． 1．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 2．组合数有关公式 (1)C＝＝. (2)C＝，其中n，m∈N＋，并且m≤n. 3．组合数的性质 (1)C＝C. (2)如果C＝C，则m＝k或者m＝n－k. (3)C＝C＋C. 1．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有(　 ) A．504种 B．729种 C．84种 D．27种 答案：C 2．计算C＋C＋C＋C＝________. 答案：210 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ———————————————————————————————— 组合的概念 ————————————————————————————————————— [典例]　判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ [解]　(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题． (3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． [方法技巧] 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．　　 [对点训练] 　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (2)从7本不同的书中取出5本给某个同学； (3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话． 解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题． (2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题． (3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题． —————————————————————————————————— 组合数公式及性质的应用 ———————————————————————————————————— [典例]　(1)求值：C＋C＋C＋…＋C； (2)解方程：－＝； (3)解不等式：2C<3C. [解]　(1)C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…