4.2 排列（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4．2　排　列 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，理解排列的概念． 2.能利用计数原理推导排列数公式并能解决简单的实际问题． 重点 难点 重点：掌握排列数公式． 难点：应用排列数公式解决实际问题. 第1课时　排列与排列数、排列数公式 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． [微提醒]　两个排列，如果组成排列的元素是相同的，并且元素的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的，否则，就称为是不同的． 2．排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 1．排列概念的理解 ①定义中给出的n个元素互不相同，抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的，因而这m个元素也是互不相同的． ②排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列．因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按照顺序排列”． ③定义规定m≤n，当m＝n时，称为全排列． 2．排列问题与分步乘法计数原理问题的区别 排列要从“n个不同的元素中取出m个元素”，即在排列问题中，元素不能重复选取，而在分步乘法计数原理中，元素可以重复选取． 1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B　由排列的定义知①④是排列问题． 2．A＝________. 答案：60 1．排列数公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)，其中n，m∈N＋，并且m≤n.这个公式叫作排列数公式． (2)当m＝n时，A＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1，记作n！，叫作n的阶乘． 2．阶乘的相关结论 (1)规定：A＝1,0！＝1. (2)排列数公式的另一种形式：A＝(m≤n，且m，n∈N＋)． (3)A＝nA(m，n∈N＋，且m≤n)； (4)A＝mA＋A(m，n∈N＋，且m≤n)． (1)排列数公式的特点 ①公式中的m，n应该满足：m，n∈N＋，并且m≤n，当m>n时不成立． ②排列数公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． (2)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数，所以A只表示排列数，而不表示具体的排列． 1．14×13×12×11×10×9等于(　 ) A．A B．A C．A D．A 解析：选D　最大因数为14，共有6个连续正整数相乘，所以n＝14，m＝6，故14×13×12×11×10×9＝A. 2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　 ) A．24 B．48 C．60 D．72 解析：选D　第一步，先排个位，有A种选择；第二步，排前四位，有A种选择．由分步乘法计数原理知，有A·A＝72个． 　　　 —————————————————————————————————— 排列的概念 ————————————————————————————————————— [典例]　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组分别去种菜； (4)选10个人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． [解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不属于排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题． [方法技巧] 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 [对点训练] 下列问题是排列问题吗？ (1