3.4 曲线与方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

3．4　曲线与方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系． 2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念． 3.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的步骤． 重点 难点 重点：求曲线方程． 难点：理解曲线方程与方程的曲线. 曲线的方程、方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 1．判断正误 (1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.(　 ) (2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．(　 ) 答案：(1)√　(2)× 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　 ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称 解析：选C　将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C. 3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是(　 ) A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝4(x＞0) C．y＝－ D．y＝－(0＜x＜2) 解析：选D　排除法，第四象限内满足x＞0，y＜0. 4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________． 解析：由方程得表示四个点． 答案：4个点 5．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是_________． 解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 —————————————————————————————————— 曲线与方程的概念 ————————————————————————————————————— [典例]　 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是(　 ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 [解析]　“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确． [答案]　B [方法技巧] “曲线”与“方程”的判定方法 解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并做出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．　　 [对点训练] 　分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． 解：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. ———————————————————————————————— 直接法求曲线方程 ——————————————————————————————————— [典例]　已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程． [解]　设动点M的坐标为(x，y)，且M到x轴的距离为d， 那么M属于集合{M|d＝|MF|}． 由距离公式得|y|＝， 整理得x2－8y＋16＝0，即y＝x2＋2. 所以所求点M的轨迹方程是y＝x2＋2. [拓展] 　把本例中的“x轴”改为“直线x＝－4”，求点M的轨迹方程． 解：设动点M的坐标为(x，y)， 则|x＋4|＝， 整理得x