3.2.1 双曲线的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

3．2.1　双曲线的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 重点 难点 重点：双曲线的定义、标准方程． 难点：双曲线标准方程、定义的应用. (一)双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：选D　由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 2．(多选)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　 ) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 解析：选AC　因为|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知A、C中动点P的轨迹为双曲线，故选A、C. (二)双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． (3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2.所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示． 1．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　 ) A．－3＜k＜－2 B．k＜－3 C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2 答案：A 2．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. 答案：16 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ————————————————————————————————— 利用双曲线的标准方程求参数 ————————————————————————————————————— [典例]　求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值； (2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值． [解]　(1)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6； 若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1， 所以－k＋＝32，即k＝－6. 综上所述，k的值为6或－6. (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 因此a的值为1. [方法技巧] 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 (1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线． (3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．　　 　　[对点训练] 1．已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　 ) A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2 C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2 解析：选B　∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)＞0.即 或解得k＞5或－2＜k＜2. 2．(多选)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值可以是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选AB　由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选A、B. ————————————————————————————————— 求双曲线的标准方程 —————————————————————————————