3.1.2 椭圆的简单几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

3．1.2　椭圆的简单几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握简单的椭圆的几何性质． 2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响． 3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用． 重点 难点 重点：椭圆的几何性质． 难点：椭圆的几何性质的理解和应用. 第1课时　椭圆的简单几何性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (一)椭圆的范围、对称性、顶点 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a， －b≤x≤b， －b≤y≤b －a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 (1)椭圆的范围实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．由于椭圆方程中两个非负数的和等1，所以椭圆上任一点的坐标适合不等式≤1，即－a≤x≤a，同理有≤1，即－b≤y≤b，这说明椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形框里． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足关系式：a2＝b2＋c2. 1．椭圆4x2＋y2＝4的长轴端点坐标为(　 ) A．(－1,0)，(1,0) B．(－4,0)，(4,0) C．(－2,0)，(2,0) D．(0，－2)，(0,2) 解析：选D　椭圆4x2＋y2＝4化为标准方程为x2＋＝1.所以椭圆焦点在y轴上，由a2＝4，a＝2，所以长轴端点坐标为(0，－2)，(0,2)，故选D. 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为________． 解析：由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 (二)椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．用e表示，即e＝. (1)椭圆离心率e的取值范围是(0,1)，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”，离心率e越大，椭圆越扁平，离心率e越小，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b，c＝0时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2. (2)椭圆离心率是焦距与长轴长的比，也可以形象的理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度．由椭圆的定义，椭圆的离心率e一般有以下几种表达方式： ①e＝＝cos α； ②e＝＝； ③e＝＝； ④e＝＝(如图)． 1．(多选)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是(　 ) A．m＝2 B．C的长轴长为 C．C的短轴长为2 D．C的离心率为 解析：选ACD　由焦点坐标为(0,1)，得a2＝m2－1，b2＝m，c2＝1.∴m2－1＝m＋1，解得m＝2或m＝－1(舍去)．∴椭圆C的方程为＋＝1，∴a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，∴长轴长为2a＝2，短轴长为2b＝2，离心率e＝＝＝.故选A、C、D. 2．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，________(填序号)更扁． 解析：椭圆①的方程x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，其离心率e1＝＝.椭圆②＋＝1的离心率e2＝.∵e1＞e2，∴椭圆①更扁． 答案：① —————————————————————————————————— 根据椭圆方程研究其几何性质 ————————————————————————————————————— [典例]　(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　 ) A．5,3,0.8　　　　　 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 (2)(多选)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为(　 ) A．4 B. C．6 D. [解析]　(1)把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4， ∴2a＝10,2b＝6，＝0.8.故选B. (2)∵2c＝6，∴c＝3. 当椭圆的焦点在x轴上时， 由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2. 由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9， ∴m2＝16，又m＞0，故m＝4； 当椭圆的焦点在y轴上时， 由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25. 由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34， 又m＞0，故m＝ . 综上可知，实数m的值为4或 .故选A、B. [答案]　(1)B　(2)AB [方法技巧] 1．由椭圆方程讨论其几何性质的步骤 (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点