检测评价24 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（二十四） 椭圆的简单几何性质 (一)基础落实 1．椭圆x2＋＝1的短轴长为(　 ) A．6 B．3 C．1 D．2 解析：选D　因为椭圆x2＋＝1，所以b2＝1，即b＝1，所以椭圆的短轴长为2b＝2，故选 D. 2．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是　(　 ) A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－，) C．[－，] D．(－2,2) 解析：选B　由题意，得＋<1, 即a2<2, 解得－<a<.故选B. 3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　 ) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：选D　曲线＋＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8.故选D. 4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　 ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 解析：选C　直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)．当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a1＞b1＞0)，由题意知，c1＝2，b1＝1，∴a＝5，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a2＞b2＞0)，由题意知，b2＝2，c2＝1，∴a＝5，∴椭圆的标准方程为＋＝1.故选C. 5．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A. 6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为________． 解析：∵e＝＝，由b＝1,0<e≤， ∴ ≤，解得1<a≤2， ∴2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]． 答案：(2,4] 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为____________． 解析：∵e＝＝，∴＝＝， ∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2. 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)， ∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1. 解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为___________． 解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2， 由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝. 答案： 9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 解：(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)． 设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． ∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20， ∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20. ∴椭圆的方程为＋＝1. 10．焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上． (1)求m的值． (2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率． 解：(1)由题意，点P(，1)在椭圆上， 代入得＋＝1，解得m＝2. (2)由(1)知，椭圆方程为＋＝1， 则a＝2，b＝，c＝， 所以椭圆的长轴长2a＝4；短轴长2b＝2； 焦距2c＝2；离心率e＝＝. (二)综合应用 1．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　 ) A．|PF1|＋|PF2|＝2 B．离心率e＝ C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 解析：选AD　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，∴c2＝1.|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，因此A正确；e＝＝＝≠，因此B错误；当点P在椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，且(S△PF1F2)max＝×2c×b＝×2×1＝1≠，因此C错误；以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，且＝1，因此D正确．故选A、D. 2．写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：________. 解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则e