检测评价22 用坐标方法解决几何问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（二十二） 用坐标方法解决几何问题 (一)基础落实 1．已知点A(0,1)，点B在直线x＋y＋1＝0上运动．当AB最小时，点B的坐标是(　 ) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(－2,1) 解析：选B　因为点B在直线x＋y＋1＝0上运动，所以设点B的坐标为(x，－x－1)，由两点间的距离公式可知|AB|＝＝＝，显然x＝－1时，|AB|有最小值，最小值为，此时点B的坐标是(－1,0)，故选B. 2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　 ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B　设P(x，y)，则＝2. 化简得x2＋y2－4x＝0，配方，得(x－2)2＋y2＝4， ∴S＝πr2＝4π. 3．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是(　 ) A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0 解析：选D　两圆关于直线l对称，则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0的圆心为P(3，－3)，则线段OP的中点为Q，其斜率kOP＝＝－1，则直线l的斜率为k＝1，故直线l的方程为y－＝x－，即x－y－3＝0. 4．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　 ) A．2 B．4 C．5 D．10 解析：选D　如图，以C为原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b,0)则D，P，由两点间的距离公式可得|PA|2＝＋，|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.所以＝10. 5．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值是________． 解析：表示点P(x，y)和点(－2，－3)的距离，则的最小值为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0的距离，d＝＝＝2. 答案：2 6．已知圆O的方程是x2＋y2＝2，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向圆O和圆O′所引的切线的长相等，则动点P的轨迹方程是________． 解析：设P(x，y)，圆x2＋y2－8x＋10＝0配方得(x－4)2＋y2＝6，由题意得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，整理得x＝. 答案：x＝ 7．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|. 证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． 因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即. 由两点间距离公式得 |BC|＝＝， |AM|＝ ＝ . 所以|AM|＝|BC|. 8．求与y轴相切，且与圆A：x2＋y2－4x＝0也相切的圆P的圆心的轨迹方程． 解：把圆A的方程配方得(x－2)2＋y2＝4. 设P(x，y)为轨迹上任意一点． (1)当圆P与定圆A外切时，不妨设两圆切点为B，且圆P与y轴相切于点N，则|PA|＝|PN|＋|AB|， 即＝|x|＋2. 当x＞0时，y2＝8x；当x＜0时，y＝0. (2)当圆P与定圆A内切时，|PA|＝||PO|－|OA||， 即＝||x|－2| x＞0时，y＝0；x＜0时，轨迹不存在． 综上可知，动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x(x＞0)和y＝0(x≠0，x≠2)． (二)综合应用 1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足|PA|＝2|PB|，则P的轨迹为(　 ) A．直线 B．线段 C．圆 D．半圆 解析：选C　设点P的坐标为(x，y)，∵A(－2,0)，B(1,0), 动点P满足|PA|＝2|PB|， ∴＝2，两边平方得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4. ∴P的轨迹为圆．故选C. 2．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4,0)，点B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上任一点，点P为AB的中点，若点M满足|MA|2＋|MO|2＝58，则线段PM的长度可能为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选BC　设P(x，y)，点P为AB的中点，所以B(2x＋4,2y)，代入圆C：(x－2)2＋y2＝4， 可得(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4， 整理得点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝1， 设M(x，y)，则(x＋4)2＋y2＋x2＋y2＝58， 整理得点M的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值3≤|PM|≤7.故选B、C. 3.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3