2.2.3 直线的一般式方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 2.2.3　直线的一般式方程 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式． 2．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化． 重点难点 重点：直线方程的一般式及与方程其他形式的互化． 难点：各种形式的直线方程的灵活应用. (一)直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)概念 关于x，y的二元一次方程___________________(其中A，B不全为0)称为直线的一般式方程． Ax＋By＋C＝0 垂直于x轴 2．直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 续表 1. (多选)直线l在平面直角坐标系中的位置如图， 已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出(　 ) A．点斜式 　　　　 B．斜截式 C．截距式 　　　　　 D．一般式 答案：ABD 2．经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为(　 ) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－12＝0 C．2x＋y－14＝0 D．x＋2y＋4＝0 答案：C (二)直线的方向向量与法向量 1．直线的方向向量 (1)我们把与直线l______的非零向量v都称为l的方向向量． (2)斜率与方向向量的关系 斜率为k的直线的方向向量为________的非零实数倍． 2．直线的法向量 与直线l______的非零向量n＝(A，B)称为直线l的法向量． 平行 (1，k) 垂直 2．(多选)已知直线l经过点A(2,1)与B(0,2)，则以下向量可以作为直线l的一个方向向量的是(　 ) A．a＝(1,2) B．a＝(－4,2) C．a＝(－2，－1) D．a＝(4，－2) 3．如果直线l的一个方向向量是v＝(－1,3)，一个法向量是u＝(－3，a)，则a＝________. 解析：因为v＝(－1,3)和u＝(－3，a)分别是直线l的一个方向向量和一个法向量，所以v·u＝0，即(－1)×(－3)＋3a＝0，解得a＝－1. 答案：－1 [方法技巧] 关于直线的一般式方程与其他形式的方程 一般情况下，直线方程的一般式与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化，但是最常用的是一般式化为斜截式，可以得出斜率、纵截距，用于作图或转化解题．　　 [对点训练] 　已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距． [拓展] 1．若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值． 2．若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值． 3．若本例中直线l垂直于y轴，试求m的值． [方法技巧] (1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距，可将其化为斜截式，求其在x轴上的截距，可令y＝0，解出x即为所求． (2)涉及字母参数时，注意分母为零的讨论．　　 法二：∵直线的法向量n＝(2,1)， ∴设直线方程为2x＋y＋m＝0. ∵直线过点A(2,3)，∴2×2＋3＋m＝0， ∴m＝－7，∴直线方程为2x＋y－7＝0. [对点训练] 1．直线3x＋ay－4＝0的法向量为(3，－2)，则a的值为(　 ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案：B　 解析：直线3x＋ay－4＝0的法向量为n＝(3，a)，故a＝－2. 2．已知A(1，－2)，B(－3,2)，则过A点且与AB垂直的直线l的方程为(　 ) A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 答案：A　 一、在典题训练中内化学科素养 在高考中直线的方程很少单独考查，通常与后续学习的圆及圆锥曲线综合考查，体现数学运算与逻辑推理、直观想象等核心素养． 1．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　 ) A．x＋y＋5＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0 答案：D　 2．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　 ) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：C　 内化素养 数学运算 写直线的方程要根据具体的题目条件选择合适的形式 逻辑推理 求三角形面积的最值或截距和的最值一般用直线的截距式方程直接表示直线 答案：A　 答案：A　 4．已知