3.2.1 双曲线的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 3．2.1　双曲线的标准方程   明学习目标 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的 过程，双曲线标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 重点 难点 重点：双曲线的定义、标准方程． 难点：双曲线标准方程、定义的应用. 知结构体系   续表 (一)双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之____________为______ (小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的_______，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的______． 差的绝对值 常数 焦点 焦距 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 答案：D　 解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 2．(多选)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　 ) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 答案：AC　 解析：因为|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知A、C中动点P的轨迹为双曲线，故选A、C. (二)双曲线的标准方程 焦点 坐标 _________________ _________________________ a，b，c 的关系 c2＝_________ 续表 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 (1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． (3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2.所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示． [题点一]—————————————————————————— 利用双曲线的标准方程求参数 —————————————————————————————— (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 因此a的值为1. (3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．　　 答案：AB　 解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选A、B. [题点二] 求双曲线的标准方程 [方法技巧] 1．求双曲线标准方程时有两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 [对点训练] 1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　 ) 答案：C　 解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，双曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故选C. [题点三] 双曲线的定义及其应用 [方法技巧] 双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．　　 一、在典题训练中内化学科素养 本节从体验双曲线概念的产生过程，到掌握双曲线的标准方程，提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养． 逻辑推理 通过题设条件推出△PF1F2为直角三角形 数学运算 双曲线的定义式、余弦定理的运算，字母、式子的运算变形，或直接应用面积结论求解 内化素养 2.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A，B为 左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，