3.1.1 椭圆的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1　椭圆的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景. 2.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程. 3.会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程. 重点 难点 重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用. 第 课时　椭圆的标准方程 (一)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 1.对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆. 2.对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解 条件 结论 2a＞F1F2 动点的轨迹是椭圆 2a＝F1F2 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜F1F2 动点不存在，因此轨迹不存在 3.定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数). (多选)平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是(　 ) A.M到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为4 B.M到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为6 C.M到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为6 D.M到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为8 答案：BD (二)椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 1.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c，0)，(－c，0)，当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c). 2.在两种标准方程中，a2＞b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 3.P是椭圆上的任意一点(不在坐标轴上)，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c). 4.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)(异于长轴的端点)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： (1)当r1＝r2，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，S取最大值，最大值为bc. 1.判断正误 (1)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.(　 ) (2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　 ) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　 ) (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，且a2＝b2＋c2.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 解析：选A　由椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)可知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1. 又点P(2，0)在椭圆上，∴a＝2. 由b2＝a2－c2，得b2＝22－12＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1.故选A. —————————————————————————————————— 求椭圆的标准方程 —————————————————————————————————————— [典例]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. [解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以 解得所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：(分类讨论法)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 依题意，有解得 由a＞b＞0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标