检测评价18 抛物线的标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

7 / 7 “四翼”检测评价（十八）抛物线的标准方程 (一)基础落实 1.如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为(　 ) A.(1，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(－1，0) 解析：选D　由于抛物线的准线是直线x＝1，所以它的焦点为(－1，0).故选D. 2.(多选)对抛物线x2＝4y，下列描述不正确的是(　 ) A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 解析：选BCD　∵抛物线的标准方程为x2＝4y，∴2p＝4，p＝2，∴＝1，因此抛物线的焦点为(0，1)，准线为y＝－1，抛物线的开口向上.故选B、C、D. 3.抛物线y＝mx2的准线方程为(　 ) A.y＝± B.x＝± C.y＝－ D.x＝ 解析：选C　因为抛物线y＝mx2，所以x2＝y，所以准线方程为y＝－.故选C. 4.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　 ) A.2 B. C. D.3 解析：选A　由抛物线定义知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线3x＋4y＋7＝0，得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 5.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P.若PF＝，则双曲线的渐近线方程为(　 ) A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±x D.y＝±x 解析：选C　∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，p＝2，抛物线和双曲线有一个公共的焦点， ∴p＝2c，即c＝1. 设P(m，n)，由抛物线的定义知， PF＝m＋＝m＋1＝，∴m＝. ∴点P的坐标为. ∴解得 则双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 故选C. 6.抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为____________. 解析：由＋＝1知，a2＝9，b2＝4，所以c2＝5，椭圆的下焦点为(0，－)，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y 7.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，MF＋NF＝10，则MN的中点到准线的距离为________. 解析：∵F是抛物线y2＝4x的焦点， ∴F(1，0)，准线方程为x＝－1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴MF＋NF＝x1＋1＋x2＋1＝10， 解得x1＋x2＝8， ∴线段MN中点的横坐标为4， ∴线段MN的中点到准线的距离为4＋1＝5. 答案：5 8.中国古代的桥梁建筑有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示中国劳动人民的非凡智慧.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面AB宽4米.水位下降1米后，水面宽________米. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y. 当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米. 答案：2 9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程. (2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点. 解：(1)∵焦点到准线的距离是2，∴2p＝4， ∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y. (2)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，∴p＝6， ∴抛物线的方程为y2＝－12x. 10.动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程. 解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D， 作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA. 设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1. ∵圆P与圆A外切，∴PA＝R＋r＝R＋1. 又∵圆P与直线l：x＝1相切， ∴PD′＝PD＋DD′＝R＋1. ∵PA＝PD′，即动点P到定点A与到定直线l′的距离相等， ∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线. 设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4， ∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2＝－8x. (二)综合应用 1.(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　 ) A.C的准线方程为x＝－4 B.F点的坐标为(0，4)