检测评价15 椭圆的几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（十五）椭圆的几何性质 (一)基础落实 1.椭圆x2＋＝1的短轴长为(　 ) A.6 B.3 C.1 D.2 解析：选D　因为椭圆x2＋＝1，所以b2＝1，即b＝1，所以椭圆的短轴长为2b＝2，故选D. 2.点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是　(　 ) A.(－∞，－)∪(，＋∞) B.(－，) C.[－，] D.(－2，2) 解析：选B　由题意，得＋<1, 即a2<2, 解得－<a<.故选B. 3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：选D　依题意得＝，2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1.则b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 4.(多选)已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k＜9)，下列说法正确的是(　 ) A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B.焦距相等 C.有相同的焦点 D.离心率相等 解析：选ABC　由题可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2c1＝2＝8，曲线C2的焦距为2c2＝2＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝＝，曲线C2的离心率e2＝＝，故D不正确. 5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A. 6.椭圆x2＋＝1的离心率是________. 解析：椭圆x2＋＝1即＋x2＝1，其长半轴长为a＝，短半轴长为b＝1，则半焦距为c＝＝3.所以椭圆的离心率为e＝＝. 答案： 7.写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：________. 解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则e＝＝，所以a2＝3b2.令b＝1，则a2＝3.所以满足题意的一个椭圆的标准方程为＋y2＝1. 答案：＋y2＝1(答案不唯一) 8.已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是________. 解析：椭圆x2＋my2＝1的标准方程为x2＋＝1(m>0).因为<e<1，e＝＝＝＝，所以0<<.当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，则m>；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，则0<m<.所以实数m的取值范围是∪. 答案：∪ 9.(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程. 解：(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0). 设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0). ∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20， ∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20. ∴椭圆的方程为＋＝1. 10.焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上. (1)求m的值. (2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 解：(1)由题意，点P(，1)在椭圆上， 代入得＋＝1，解得m＝2. (2)由(1)知，椭圆方程为＋＝1， 则a＝2，b＝，c＝， 所以椭圆的长轴长2a＝4；短轴长2b＝2； 焦距2c＝2；离心率e＝＝. (二)综合应用 1.(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　 ) A.PF1＋PF2＝2 B.离心率e＝ C.△PF1F2面积的最大值为 D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 解析：选AD　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，∴c2＝1.PF1＋PF2＝2a＝2，因此A正确；e＝＝＝≠，因此B错误；当点P在椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，且(S△PF1F2)max＝×2c×b＝×2×1＝1≠，因此C错误；以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，且＝1，因此D正确.故选A、D. 2.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫作切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中，发现“切面”是一个椭圆