检测评价13 椭圆的标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（十三）椭圆的标准方程 (一)基础落实 1.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2等于(　 ) A.4 B.5 C.8 D.10 解析：选D　由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，PF1＋PF2＝2a＝10.故选D. 2.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选C　由题意知c＝8，2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.故选C. 3.“4＜k＜10”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的(　 ) A.充分不必要条件 　　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　　 D.既不充分又不必要条件 解析：选B　∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴解得7＜k＜10，故“4＜k＜10”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选B. 4.已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为C上一点，A，则PA＋PF的最小值为(　 ) A. B. C.4 D. 解析：选D　由椭圆的方程可知，a＝3，c＝＝2.如图所示，设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知，PF＋PF2＝2a＝6，所以PA＋PF＝PA＋6－PF2＝6－(PF2－PA)，所以求PA＋PF的最小值，也就是求PF2－PA的最大值.由图易知，当P，A，F2三点共线时，PF2－PA取得最大值，此时(PF2－PA)max＝AF2＝，所以PA＋PF的最小值为6－＝. 5.(多选)下列说法不正确的是(　 ) A.椭圆＋＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0) B.椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－1)，(0，1) C.椭圆＋＝1与＋＝1(m＞0)的焦点坐标相同 D.已知△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，2BC＝AB＋AC，则顶点A的轨迹方程为＋＝1 解析：选ACD　对于A，因为椭圆方程为＋＝1，169＞144，所以焦点在y轴上，故A错误；对于B，因为椭圆方程为＋＝1，m2＋1＞m2，所以焦点在y轴上，又c2＝m2＋1－m2＝1，所以焦点坐标为(0，±1)，故B正确；对于C，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±3，0)，又椭圆方程＋＝1(m＞0)中m＋4＞m－5，所以椭圆＋＝1(m＞0)的焦点在y轴上，故C错误；对于D，由条件可知AB＋AC＝2BC＝12＞BC＝6，且A，B，C三点不共线，所以顶点A的轨迹是以B，C为焦点，且长轴长为12的椭圆去掉(±6，0)这两个点，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±6)，故D错误.故选A、C、D. 6.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是________. 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，根据题意得解得 故椭圆的标准方程是＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 7.写出一个与椭圆C：＋＝1有公共焦点的椭圆方程__________. 解析：由题可知椭圆方程的形式应为＋＝1(m＞－3，且m≠0)，可取m＝5(答案不唯一). 答案：＋＝1(答案不唯一) 8.设F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且OP＝3，则△PF1F2的面积为___________. 解析：由椭圆方程可知a2＝12⇒a＝2，b2＝3，则c2＝9⇒c＝3，∵OP＝3，∴PF1⊥PF2， ∵PF1＋PF2＝4，两边平方，得PF＋PF＋2PF1·PF2＝48，即4c2＋2PF1·PF2＝48，即36＋2PF1·PF2＝48，解得PF1·PF2＝6， S△PF1F2＝·PF1·PF2＝3. 答案：3 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； (2) c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 解： (1)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上， ∴焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 由椭圆的定义知，2a＝＋＝8， ∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13， ∴c＝5，∴b2＝a2－c2＝132－52＝144， ∵焦点所在的坐标轴不确定， ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值. 解：(1)依题意知，c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，∴a2－a2＝1，即a2＝1，∴a2＝4，b2＝3，