检测评价36 简单复合函数的导数（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1 / 4 “四翼”检测评价（三十六）简单复合函数的导数 (一)基础落实 1.(多选)下列函数是复合函数的是(　 ) A.y＝－x3－＋1 B.y＝cos C.y＝ D.y＝(2x＋3)4 解析：选BCD　A、C不是复合函数，B、D均是复合函数，其中B由y＝cos u，u＝x＋复合而成；D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成. 2.函数y＝(2 023－8x)3的导数y′＝(　 ) A.3(2 023－8x)2 B.－24x C.－24(2 023－8x)2 D.24(2 023－8x)2 解析：选C　y′＝3(2 023－8x)2×(2 023－8x)′＝3×(2 023－8x)2×(－8)＝－24(2 023－8x)2.故选C. 3.设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为(　 ) A. B. C.1 D. 解析：选B　由f(x)＝ln (2x－1)，得f′(x)＝. 由f′(x0)＝＝1，解得x0＝.故选B. 4.函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于(　 ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 解析：选A　f′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负值舍去). 5.已知某容器的高度为30 cm，向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝tet＋a.当t＝1时，液体上升高度的瞬时变化率为2e cm/s，则当t＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为(　 ) A.e2cm/s B.2e2cm/s C.3e2cm/s D.4e2cm/s 解析：选C　h′＝(t＋1)et＋a，当t＝1时，h′＝2e1+a＝2e，解得a＝0，故h′＝(t＋1)et.当t＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为3e2cm/s. 6.函数f(x)＝的导函数f′(x)＝________. 解析：由f(x)＝， 得f′(x)＝－. 答案：－ 7.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 解析：易知y′＝aeax，k＝ae0＝a， 故a×＝－1，则a＝2. 答案：2 8.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x-2－x，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________. 解析：设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝ex-2＋x， ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝ex-2＋x(x>0)，则f′(x)＝ex-2＋1(x>0)，∴f′(2)＝2. 又f(2)＝3，∴曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－3＝2(x－2)，即y＝2x－1. 答案：y＝2x－1 9.求下列函数的导数： (1)y＝ln x＋xax；(2)y＝cos 2x＋x； (3)y＝(2x＋1)5；(4)y＝loga(3x＋2). 解：(1)y′＝(ln x)′＋x′ax＋x(ax)′＝＋ax＋xax ln a. (2)y′＝－sin 2x(2x)′＋′＝－2sin 2x＋x－. (3)y′＝5(2x＋1)4×2＝10(2x＋1)4. (4)y′＝×3＝. 10.曲线y＝esin x在点(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 解：∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，∴当x＝0时，y′＝1. ∴曲线y＝esin x在点(0，1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0. 又直线l与x－y＋1＝0平行， 故直线l可设为x－y＋m＝0. 由＝，得m＝－1或3. ∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0. (二)综合应用 1.设曲线f(x)＝a sin (－x)－ln (x＋1)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则a的值为(　 ) A.－2 B.1 C.2 D.3 解析：选A　依题意，曲线f(x)＝－a sin x－ln (x＋1)，求导得f′(x)＝－a cos x－，则f′(0)＝－a－1.因为曲线f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则f′(0)＝1，即－a－1＝1，解得a＝－2. 2.若曲线y＝sin 2x＋cos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最小值为(　) A. B. C. D.π 解析：选B　∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin2x＋×＝sin ＋， ∴y′＝cos ， ∴曲线的切线斜率在[－1，1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直， 故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A