5.2.3 简单复合函数的导数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

开始 落实必备知识 01 02 03 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 5.2.3　简单复合函数的导数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解复合函数的复合过程. 2.能利用复合函数的求导法则求简单函数的导数. 重点 难点 重点：求简单复合函数的导数. 难点：理解复合函数的复合过程. 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 2.复合函数的求导法则 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝_________，即yx′＝______. yu′·ux′ yu′·a (1)求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量. (2)利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单. (3)判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本初等函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数或关于自变量x的基本初等函数经过有限次四则运算而得到的函数. 1.判断正误 (1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成.(　 ) (2)函数f(x)＝e2x-1的导数为f′(x)＝2e2x-1.(　 ) (3)函数f(x)＝sin (－x)的导数为f′(x)＝cos x.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是 (　 ) A.y＝un，u＝x2－1　　　　 B.y＝(u－1)n，u＝x2 C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1，y＝tn 答案：AD 3.函数y＝x ln (2x＋5)的导数为 (　 ) 答案：B 4.设f(x)＝ln (3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 复合函数的概念 [方法技巧] 要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数.　　 答案：BCD 求复合函数的导数 [典例]　求下列函数的导数： [方法技巧] 1.求复合函数的导数的步骤 2.求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁，复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.　　 答案：B 复合函数导数的应用 [方法技巧] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了.在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义、导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用.　　 [对点训练] 设函数f(x)＝x＋ln (x－5)，g(x)＝ln (x－1)，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，解不等式f′(x)＞g′(x). 发展理性思维 1.曲线y＝2xex-2在点(2，4)处切线的斜率等于 (　 ) A.2e B.e C.6 D.2 答案：C 解析：∵y＝2xex-2，∴y′＝2ex-2＋2xex-2，∴k＝2e0＋4e0＝6. A.－10ln 2(贝克/年) B.300ln 2(贝克/年) C.－300ln 2(贝克/年) D.300(贝克/年) 答案：A 强化拓广探索 4.设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，曲线y＝f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为 (　 ) A.2x－y＝0 B.2x＋y＝0 C.4x－y＝0 D.4x＋y＝0 答案：A 解析：因为函数f(x)＝ex＋ae－x是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对一切x∈R恒成立， 所以e－x＋aex＝－ex－ae－x对一切x∈R恒成立，即(a＋1)(ex＋e－x)＝0对一切x∈R恒成立，所以a＋1＝0，解得a＝－1. 因此f(x)＝ex－e－x, 故f′(x)＝ex＋e－x. 因为曲线y＝f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0，所以令f(x)＝ex－e－x＝0，解得x＝0. 所以曲线y＝f(x)的这条切线的切点的坐标为(0，0)， 切线的斜率为f′(0)＝e0＋e0＝2. 故曲线y＝f(x)的这条切线方程为y－0＝2(x－0)，即2x－y＝0.故选A. ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（三十六）” (单击进入电子文档) 41 谢谢观看 (4)y＝ln (2x＋3)的导数为y′＝.(　 ) A.ln (2x＋5)－　　　 B.ln (2x＋5)＋ C.2x ln (2x＋5) D. 解析：y′＝[x l