6.3.1 离散型随机变量的均值（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3．1离散型随机变量的均值 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值． 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 重点 难点 重点：离散型随机变量的均值的实际应用． 难点：理解离散型随机变量的意义. 1．离散型随机变量的均值(或数学期望) 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量X取值的平均水平． 理解均值要注意以下三点 (1)离散型随机变量的均值是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均，由于离散型随机变量的所有取值的概率满足i＝1，所以均值是以概率pi为权数的加权平均数． (2)EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量，可以取不同的值，但EX是X的一个特征数，它是不变的，它描述X取值的平均水平． (3)EX与随机变量X本身具有相同的单位． 2．两点分布的均值 一般地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝. 3．均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， (1)Y也是随机变量； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b. 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值EX＝(　 ) A. B．2 C. D．3 答案：A 2．已知随机变量X的分布列如下，且EX＝5.9，则a的值为(　 ) X 4 a 9 P 0.5 0.2 b A.5 B．6 C．7 D．8 解析：选B　由0.5＋0.2＋b＝1，得b＝0.3.由EX＝5.9，得4×0.5＋0.2a＋9×0.3＝5.9，解得a＝6. 3．已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 a 则E(2X＋0.2)＝(　 ) A．4.8 B．5 C．6 D．8.4 答案：B —————————————————————————————————— 求离散型随机变量的均值 —————————————————————————————————————— [典例]　(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． [解]　(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC＋BC＋AC＋AB)＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6. (2)X的取值可以为0,10,20,30. P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44，P(X＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34， P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06. 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 所以EX＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. [方法技巧] 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值； (2)求概率：计算出P(X＝k)； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：利用EX的计算公式计算EX.其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．　　 [对点训练] 一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球． (1)求取出的3个球编号都不相同的概率； (2)记X为取出的3个球中编号的最小值，