6.1.2 乘法公式与事件的独立性（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．2　乘法公式与事件的独立性 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． 2.结合古典概型，了解事件的独立性与条件概率的关系． 重点 难点 重点：乘法公式的应用． 难点：理解事件独立性与条件概率的关系. 1．乘法公式 由条件概率的定义P(B|A)＝，则有P(AB)＝P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)．同理，P(AB)＝P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)．称这两个公式为乘法公式． 2．乘法公式的推广 P(ABC)＝P(A)·P(B|A)·P(C|AB)．一般地，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An－1)，与次序无关． 3．事件的独立性 (1)相互独立事件的概念 如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件． (2)事件A与事件B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)． (3)当P(B)>0时，事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)． 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不能同时发生的两个事件A与B 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作AB 互斥事件A，B中至少有一个发生，记作A∪B(或A＋B) 计算公式 P(AB) ＝P(A)P(B) P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) 1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　 ) A. B. C. D. 答案：C 2．当P(A)>0时，若P(B|A)＋P()＝1，则事件A与B(　 ) A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．不独立 答案：C 3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝. 4．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________． 解析：甲、乙两站水文预报相互独立，则P＝0.8×0.7＝0.56. 答案：0.56 —————————————————————————————————— 乘法公式的应用 —————————————————————————————————————— [典例]　已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　 ) A. B. C. D. [解析]　设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.由题意，得P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为. [答案]　C 乘法公式揭示了P(A)，P(B|A)，P(AB)三者之间的关系，在解题时只要知道其中的两个就可以求出第三个，最主要在于分析实际问题中已知的是什么，要求的是什么，从另一个方面可以理解乘法公式就是利用条件概率P(A|B)来计算P(AB)的．乘法公式是普遍成立的，只要作为“条件的事件”的概率不为零．　　 [对点训练] 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破、第二次落下打破的概率为，若前两次落下均未打破、第三次落下打破的概率为，求透镜落下三次未打破的概率． 解：设Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次未打破”．因为B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝××＝. —————————————————————————————————— 相互独立事件的判断 —————————————————————————————————————— [典例]　一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列事件A，B的相互独立性与互斥性． (1)事件A：取1个球为红球，事件B：取出的红球放回后，再从中取1个球为白球； (2)从袋中取2个球，事件A：取出的2个球为1个白球和1个红球，事件B：取出的2个球中至少有1个为白球． [解]　(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生互不影响，因此A与B为相互独立事件，事件A，B能同时发生，不是互斥事件． (2)设2个白球为a，b,2个红球为m，n，则从袋中取2个球的所有取法为(a，b)，(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(m，n)，则P(A)＝＝，P