5.3 组合（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　组合问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式并能解决简单的实际问题． 重点 难点 重点：用组合数的计算公式解决一些简单的应用问题． 难点：掌握常见组合问题的求解方法． 第1课时　组合的概念及组合数公式 1．组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题． 对组合概念的理解 (1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求． (3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合． 2．排列、组合的相同点与不同点 相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题 不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序 1．判断正误 (1)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．(　 ) (2)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组合数”．(　 ) (3)组合和排列一样，都与“顺序”有关．(　 ) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．(　 ) (5)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 解析：两个数的乘积与顺序无关，所以是组合问题．从四个数中任取两个数相乘的积是15，21，33，35，55，77，共6个． 答案：6 1．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数，记作． 2．组合数公式 (1)C＝＝＝． (2)C＝1，C＝n，C＝1． 3．组合数性质 (1)性质1：C＝C； (2)性质2：C＝． 1．C＝(　 ) A．4 B．8 C．10 D．15 答案：D 2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有(　 ) A．504种 B．729种 C．84种 D．27种 答案：C 3．已知C＝C，则m＝________． 答案：7 —————————————————————————————————— 组合的概念 —————————————————————————————————————— [典例]　判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ [解]　(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题． (3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． [方法技巧] 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．　　 [对点训练] 判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合A＝，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 解：(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题． (2)因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题． (3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题． (4)因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个