7.2 成对数据的线性相关性（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　成对数据的线性相关性 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义． 2．了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系． 3．会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 重点 难点 重点：相关系数的计算和判断相关关系． 难点：相关系数的应用. 1．相关系数的定义 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝ ＝ ＝. 称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数． 2．相关系数的特征 (1)样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1,1]． (2)|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱． (3)①当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关； ②当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关； ③当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关． 1．判断正误 (1)相关关系是一种非确定性关系．(　 ) (2)当r＝0时，两个随机变量没有任何关系．(　 ) (3)若r1＝0.95，r2＝0.85，则体现两个随机变量线性相关程度较强的是r2.(　 ) (4)当变量X的取值为3,4,5,6,7时，变量Y对应的值依次为4.0,2.5，－0.5，－1，－2，则可知变量X和Y负相关．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列图中，散点图与相关系数r不符合的是(　 ) 答案：D 3．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性分析，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83,0.72，－0.90，则线性相关程度最强的一组是______．(填甲、乙、丙中的一个) 答案：丙 —————————————————————————————————— 对相关系数的理解 ————————————————————————————————————— [典例]　设两个变量X和Y之间具有线性关系，它们的相关系数是r，Y关于X的回归直线的斜率是b，在y轴上的截距是a，那么必有(　 ) A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同 C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反 [解析]　当b>0时，两变量正相关，此时r>0；当b<0时，两变量负相关，此时r<0.故选A. [答案]　A 线性相关关系的判断方法 (1)散点图法：点在一条直线附近排列为线性相关，若上升趋势为正相关，下降趋势为负相关，点越集中于直线上，相关性越强，反之越弱． (2)相关系数法：求出r值，r＞0，正相关，r＜0，负相关，r＝0，认为不具备线性关系．|r|越接近1，相关程度越强，一般|r|＞0.75，认为具有较为显著的线性关系．另外，r＝1，完全正相关，r＝－1，完全负相关． [对点训练] 1.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，去掉哪个点后，剩下的5个点数据的相关系数最大(　 ) A．D B．E C．F D．A 解析：选C　F点距回归直线最远，所以去掉F点后剩下的5个点数据的相关系数最大． 2．四对变量Y和X进行线性相关性分析，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知： ①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2； ③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.995 0. 则变量Y和X线性相关程度最强的两组是(　 ) A．①和② B．①和④ C．②和④ D．③和④ 解析：选B　相关系数r的绝对值越大，变量X，Y的线性相关程度越强，故选B. —————————————————————————————————— 相关系数的计算 —————————————————————————————————————— [典例]　某农科所对冬季昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度(如图甲)，以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况(如图乙)． (1)请画出发芽数Y与温差X的散点图； (2)判断两个变量是否线性相关，计算相关系数，并刻画它们的相关程度． [解]　(1)散点图如图所示． 所以此结果说明发芽数和温差这两个变量正相关，且线性相关程度较强． [方法技巧] 判断两个变量之间的线性相关程度一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线附近，此时可以利用相关系数r来判断．相关系数是从数值上来判断的，是定量分析． [对点训练] 暑期社会实践中，小娴所在的小组调查了某地家庭人口数X与每天对生活必需品的消费Y(单位：元)的情况，得到的数据如下表： X/人 2 4 5