7.1 一元线性回归（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　 §1　一元线性回归 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 重点 难点 重点：求线性回归方程并用线性回归方程进行预测． 难点：用最小二乘法求线性回归方程. 1．散点图 每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 2．曲线拟合和直线拟合 如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合． 对成对数据及散点图的理解 (1)成对数据是统计出的数据对，如研究人的身高(X)与体重(Y)之间的关系时，统计出部分人的身高与体重(xi，yi)(i＝1，2，…)，其中xi，yi是同一人的身高与体重． (2)散点图：是将统计出的数据以点的形式呈现，使得两个变量间的关系更加直观，便于作出预测．同样两个变量，由于统计出的数据不同，其散点图中的点会不同，但点的排列趋势应该大致相同． 　下列各选项中的两个变量x，y可以利用直线拟合的是(　 ) 答案：C 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1,2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法． 2．线性回归方程 直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线，如图，，是这个线性回归方程的系数． (1)(，)称为成对数据的中心点，由＝－知回归直线一定经过点(，)． (2)利用线性回归方程Y＝＋X即可估计(预测)当X取观测值之外的某个值时对应的Y的值． (3)公式＝，求时可依成对数据的情况恰当选用． (4)当两个变量不可使用直线拟合时，我们仍可以求出相应的线性回归方程，但此时的线性回归方程已经不能反映变量间的变化规律，因此也就失去了意义． 1．已知线性回归方程中的值是0.6，成对数据的中心点是(4,5)，则线性回归方程是(　 ) A．Y＝4＋0.6X B．Y＝5＋0.6X C．Y＝2.6＋0.6X D．Y＝1.1X＋0.6 解析：选C　由题意可设线性回归方程为Y＝＋0.6X，又成对数据的中心点是(4,5)，所以5＝＋0.6×4，解得＝2.6，即线性回归方程为Y＝2.6＋0.6X. 2．已知一组成对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x7，y7)，用最小二乘法得到其线性回归方程为Y＝－2X＋4，若x1，x2，…，x7的平均数为1，则yi＝(　 ) A．2 B．11 C．12 D．14 解析：选D　∵＝1，且点(，)在回归直线Y＝－2X＋4上，∴＝－2＋4＝－2×1＋4＝2，则yi＝7＝7×2＝14. —————————————————————————————————— 相关关系的判定 —————————————————————————————————————— [典例]　观察下列各图． (1)其中两个变量x，y具有相关关系的图是__________； (2)其中两个变量x，y具有线性关系的图是________； (3)其中两个变量x，y为正相关的图是________，为负相关的图是________． [解析]　题图①中的点沿直线型排列，且呈上升趋势，表示x，y呈线性关系，且为正相关，题图②各点沿曲线型排列，为非线性关系，题图③散乱一团，x，y不相关，题图④各点沿直线型排列，且呈下降趋势，表示x，y呈线性关系，且为负相关． [答案]　(1)①②④　(2)①④　(3)①　④ [方法技巧] 利用散点图判断相关关系的方法 (1)是不是相关关系的判断：散点图中的点沿曲线型或直线型排列为相关关系，若点杂乱无章，乱成一团，则不相关． (2)是不是线性关系的判断：若点沿直线型排列为线性关系，若沿曲线型排列为非线性关系． (3)正、负相关关系的判断：点的排列呈上升趋势为正相关，呈下降趋势为负相关．　　 [对点训练] 下列图形中具有线性关系的两个变量是(　 ) 解析：选D　A和B符合函数关系，即对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C，D中的散点图来看，