6.4.1 二项分布（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．1　二项分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解n重伯努利试验的概念．掌握随机变量服从二项分布的有关计算． 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题．会求服从二项分布的随机变量的均值和方差． 重点 难点 重点：二项分布的概念及概率的计算． 难点：二项分布的应用. 1．n重伯努利试验 定义 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验 特征 ①同一个伯努利试验重复做n次． ②各次试验的结果相互独立 2．二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)． 3．二项分布的均值和方差 (1)一般地，若随机变量X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． (2)特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝，DX＝p(1－p)． 二项分布的特点 (1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生． (2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变． 若用X表示n次独立重复实验中成功的次数，则X的分布列可表示为 X 0 1 … k … n P Cp0·(1－p)n Cp1·(1－p)n－1 … Cpk·(1－p)n－k … Cpn·(1－p)0 二项分布中各个参数的意义 n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1－p表示试验不成功的概率． 1．判断正误 (1)在n重伯努利试验中，各次试验结果之间没有影响．(　 ) (2)在n重伯努利试验中，各次试验成功的概率可以不同．(　 ) (3)在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样．(　 ) (4)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)．(　 ) (5)若X～B(5,0.4)，则EX＝2，DX＝3.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．连续掷一枚硬币5次， 恰好有3次出现正面向上的概率是________． 答案： —————————————————————————————————— n重伯努利试验中的概率计算 ————————————————————————————————————— [典例]　某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． [解]　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5重伯努利试验． “恰有2次准确”的概率为 P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为 P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. [方法技巧] n重伯努利试验求概率的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． [对点训练] 一同学投篮每次命中的概率都是，该同学连续投篮5次，每次投篮相互独立． (1)求连续命中4次的概率； (2)求恰好命中4次的概率． 解：(1)设“连续命中4次”为事件A，则A包含“第1至第4次命中第5次没有命中”和“第1次没有命中但第2至第5次命中”两种情况， 所以P(A)＝4·＋·4＝2×5＝4＝. (2)5重伯努利试验，恰好命中4次的概率为 P(X＝4)＝C4＝5×5＝. ————————————————————————————————— 二项分布的概率及参数的计算 ————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知随机变量X～B，则P(X＝2)＝　　　 (　 ) A. B. C. D. (2)已知随机变量X～B(90，p)，且E(2X＋1)＝61，则DX＝(　 ) A．10 B．15 C．20 D．30 [解析]