6.3.2 离散型随机变量的方差（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3.2离散型随机变量的方差 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念与意义． 2.掌握方差的性质，能计算离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题． 重点 难点 重点：能计算离散型随机变量的方差． 难点：理解离散型随机变量方差的意义. 1．离散型随机变量的方差 (1)若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差，记作σX. (2)随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散． 2．离散型随机变量的性质 设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2DX. 1．判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定．(　 ) (2)若a是常数， 则Da＝0.(　 ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若随机变量X服从两点分布， 且成功的概率p＝0.5, 则EX和DX分别为(　 ) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75 答案：A 3．D(X－DX)的值为(　 ) A．无法求 B．0 C．DX D．2DX 答案：C 对离散型随机变量的方差和标准差的理解 (1)随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散的程度，DX越小，稳定性越高，波动越小． (2)随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差为总体的方差，是一个常数，不随所抽样本而变化，样本方差与所抽样本有关，是一个变量，但随着样本容量的增大，样本方差会趋于总体方差． —————————————————————————————————— 求离散型随机变量的方差 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则DX等于(　 ) A. B. C. D. (2)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________． [解析]　(1)由题意知，EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，故DX＝2×＋2×＋2×＋2×＝. (2)依题意知，X服从两点分布，所以DX＝0.8×(1－0.8)＝0.16. [答案]　(1)C　(2)0.16 [方法技巧] 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出EX； (4)根据公式计算方差．　　 [对点训练] 1．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX等于(　 ) A．3.36 B. C．7.8 D．3.6 解析：选A　由题知X＝6,9,12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝. ∴X的分布列为 X 6 9 12 P ∴EX＝6×＋9×＋12×＝7.8. DX＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. 2．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________． 解析：X的分布列为 X 1 3 5 P 则EX＝1×＋3×＋5×＝，DX＝. 答案： —————————————————————————————————— 离散型随机变量方差的性质 —————————————————————————————————————— [典例]　设随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 若Y＝2X＋2，则DY等于(　 ) A．－ 　B. C. D. [解析]　由题意知，EX＝－1×＋0×＋1×＝－，故DX＝2×＋2×＋2×＝，DY＝D(2X＋2)＝4DX＝4×＝. [答案]　D 求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2