检测评价36 二项式系数的性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（三十六） 二项式系数的性质 (一)基础落实 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　 ) A．第(n－k)项 B．第(n－k－1)项 C．第(n－k＋1)项 D．第(n－k＋2)项 解析：选D　第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第(n－k＋2)项的二项式系数为C. 2．设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　 ) A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D．第8项和第9项 解析：选A　因为展开式的第5项为T5＝Cx，所以令－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项． 3．在(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是(　 ) A．第4项 B．第4、5项 C．第5项 D．第3、4项 解析：选B　(x－y)n的展开式有n＋1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项． 4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选B　∵x3＝[2＋(x－2)]3，∴a2＝C·2＝6. 5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　 ) A．－2 B．1 C．2 D．2×39 解析：选A　令x＝－1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________． 解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5. 答案：5 7．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝310. 两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝. 答案： 8．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 解析：因为8<C＋C＋…＋C<32，即8<2n<32， 所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x. 答案：6x 9．在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在n(a>0)的展开式中，________． (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为112，求展开式中x4的系数． 解：(1)选①，∵C＝C， ∴n＝8. 选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，∴n＝8. 选③，∵所有项的二项式系数的和为256， ∴2n＝256, ∴n＝8. (2)二项式8(a>0)的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)8-rr＝Ca8-r(－1)rx8- . 令8－＝0得r＝6. ∴展开式中的常数项为C·a2＝112, 得a2＝4. 又∵a>0，∴a＝2.∴8的展开式的通项为Tr＋1＝C28-r(－1)rx8-. 令8－＝4得r＝3. ∴T4＝C·25(－1)3x4＝－1 792x4 .∴展开式中x4的系数为－1 792. (二)综合应用 1．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)·…·(nx＋1)(n∈N＋)展开式中的一次项系数为(　 ) A．C B．C C．C D．C 解析：选C　一次项的系数为1＋2＋3＋…＋n＝＝C. 2．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选B　由二项式系数的性质知， 二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C＝a， 二项式(x＋y)2m+1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C＝C＝b. 因此13C＝7C， 即13·＝7·， 所以m＝6. 3．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：∵展开式的二项式系数之和为2n， ∴2n＝64，即n＝6. ∴Tr＋1＝Cx6-r＝Cx6-2r. 由6－2r＝0，得r＝3. ∴其常数项为T3＋1＝C＝20. 答