3.3.2 抛物线的简单几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解抛物线的简单几何性质． 2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题． 重点 难点 重点：抛物线的几何性质． 难点：抛物线几何性质的应用. 1．抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 性质 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 2．过焦点的弦长公式 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p. 3．抛物线的通径 (1)定义：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径，如图所示． 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p. (2)通径是所有焦点弦中最短的弦． (3)通径在反映抛物线开口大小上的作用： 抛物线的通径AB(如图所示)的长度为2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越长，即抛物线的开口越大；反之，p越小，通径越短，即抛物线的开口越小． 1．判断正误 (1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　 ) (2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　 ) (3)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　 ) (4)若AB是焦点弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(　 ) (5)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．(　 ) (6)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× 2．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，则抛物线的焦点坐标为(　 ) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 解析：选D　∵抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，∴－＝－1，即p＝2，∴抛物线的焦点坐标为(0,1)． 3．抛物线x＝8y2的通径长为(　 ) A．8 B．4 C. D. 解析：选C　抛物线x＝8y2，即y2＝x，可得2p＝，因此通径长为.故选C. 4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线l，则直线l被抛物线截得的弦长为________． 解析：由抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.设弦的两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 答案：16 ————————————————————————————————— 由抛物线的几何性质求其标准方程 ————————————————————————————————————— [典例]　求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程． [解]　∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上， ∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y. [方法技巧] 求抛物线标准方程的一般步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程． [对点训练] (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上