3.3.1 抛物线及其标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．3.1　抛物线及其标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 重点 难点 重点：抛物线的定义、标准方程． 难点：抛物线的标准方程定义及标准方程的应用. (一)抛物线的概念 定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 焦点 点F叫做抛物线的焦点 准线 直线l叫做抛物线的准线 集合表示 P＝{M||MF|＝d，d为点M到准线l的距离} 对抛物线定义的理解 (1)抛物线的定义可归结为“一动三定”：“一动”即一个动点，设为M；“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1)． (2)定义中的隐含条件：定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线． 过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　 ) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 解析：选D　由题意知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故选D. (二)抛物线的标准方程 1．抛物线的标准方程有以下四种不同的形式 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ p的几何意义 焦点到准线的距离 2．与抛物线定义有关的常用结论 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． (2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 四种标准方程对应的抛物线的比较 相同点 不同点 (1)顶点都在原点． (2)焦点都在坐标轴上． (3)焦点到准线的距离都是p. (4)准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于 (1)当焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；当焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2. (2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程一次项的系数为正数；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程一次项的系数为负数 1．抛物线x2＝－2y的焦点坐标是(　 ) A. B. C．(1,0) D．(－1,0) 答案：B 2．抛物线y＝－x2的准线方程为________． 答案：y＝2 —————————————————————————————————— 求抛物线的标准方程 —————————————————————————————————————— [典例]　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． [解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2， 故抛物线焦点在y轴的正半轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2， ∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y 中， 得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 即2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. [方法技巧] 求抛物线标准方程的方法 (1)直接法：直接利用题中已知条件确定参数p. (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定． [对点训练] 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)过点(－3,2)； (3)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. 解：(1)∵抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，即p＝，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)根据点(－3,2)在第二象限，设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)， 将点(－3,2)代入方程得2p＝或2