3.2.2 双曲线的简单几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 2．能用双曲线的简单几何性质解决问题． 重点 难点 重点：双曲线的几何性质． 难点：双曲线几何性质的应用. (一)双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝且e＞1 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 (1)等轴双曲线的定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝. 3．双曲线中一些常用的结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称． (3)与双曲线－＝1具有相同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． (4)渐近线为y＝kx的双曲线的方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为ax±by＝0的双曲线的方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 1．判断正误 (1)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　 ) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　 ) (3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　 ) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝±.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　 ) A．2 B．2 C．4 D．4 答案：C 3．双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　 ) A．y＝±x B．y＝±3x C．y＝±x D．y＝±x 答案：A 4．王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长是4； 乙：该双曲线的虚轴长是2； 丙：该双曲线的焦距为8； 丁：该双曲线的离心率为. 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：B (二)直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点． 1．双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长|AB|＝.同理，可求得双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的通径长也是. 2．双曲线的焦点弦的最小值 若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长；若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a. 1．直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 2．斜率为2的直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为______________． 解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0，由Δ＞0，得m＜－或m＞.故x1＋x2＝－m　①，x1x2＝　②.由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16　③.把①②代入③，解得m＝±，满足题意，∴直线l的方程为y＝2x±. 答案：y＝2x± —————————————————————————————————— 由双曲线方程研究其