3.1.1 椭圆及其标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　 3．1.1　椭圆及其标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景． 2.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 3.会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 重点 难点 重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用. (一)椭圆的概念 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 焦点 两个定点叫做椭圆的焦点 焦距 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 集合语言 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|} 1．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 2．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 (多选)平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是(　 ) A．M到两定点(0,2)，(0，－2)的距离之和为4 B．M到两定点(0,2)，(0，－2)的距离之和为6 C．M到两定点(3,0)，(－3,0)的距离之和为6 D．M到两定点(3,0)，(－3,0)的距离之和为8 答案：BD (二)椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 1．椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c)． 2．在两种标准方程中，a2＞b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 3．P是椭圆上的任意一点(不在坐标轴上)，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)． 4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)(异于长轴的端点)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： (1)当r1＝r2，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，θ最大； (2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，S取最大值，最大值为bc. 1．判断正误 (1)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　 ) (2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　 ) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　 ) (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，且a2＝b2＋c2.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．焦点在x轴上，且a2＝13，b2＝1的椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋y2＝1或x2＋＝1 D.＋y2＝1 答案：D ——————————————————————————————————— 求椭圆的标准方程 ————————————————————————————————————— [典例]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 　　　 (2)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (3)经过点 [解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以 解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：(分类讨论法)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 由a＞b＞0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：(待定系数法)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． 则 解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1. 1．待定系数法求标准方程的步骤 (1)先确定焦点位置； (2)设出方程； (3)寻求