检测评价23 直线与椭圆的位置关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十三） 直线与椭圆的位置关系 (一)基础落实 1．“a＝1”是“直线y＝x＋a与椭圆C：＋＝1有公共点”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选A　由a＝1，得直线y＝x＋1过点(0,1)．又点(0,1)在椭圆C内部，故a＝1⇒直线y＝x＋a与椭圆C有公共点，而直线y＝x＋a与椭圆C有公共点不一定得a＝1.所以“a＝1”是“直线y＝x＋a与椭圆C有公共点”的充分不必要条件．故选A. 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　 ) A. B．± C．－ D．± 解析：选B　由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±.故选B. 3．(多选)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(　 ) A．y＝2x－3 B．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋3 解析：选ACD　直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7，而直线y＝2x＋1被椭圆C截得的弦长大于7.故选A、C、D. 4．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选C　由题意设椭圆方程为＋＝1，由得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ ≥0，得b2≥4，所以b2的最小值为4，由e＝＝ ，则当b2＝4时，e取最大值，故选C. 5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则(　 ) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6,12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 解析：选ACD　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的范围是(0,6)，∴△ABF的周长的范围是(6,12)，B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F(，0)，∴·＝＋2＝0，∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选A、C、D. 6．过椭圆＋＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆的面积是________． 解析：由题意，在＋＝1中，c＝＝，故F(，0)．当x＝时，y＝±3＝±，所以|AB|＝，故以AB为直径的圆的面积是π×2＝. 答案： 7．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则|OB|＝________. 解析：∵AF2⊥F1F2，∴AF2的长度是椭圆C：＋＝1通径的一半，即|AF2|＝，∵|F1O|＝|F2O|，∴OB是△AF1F2的中位线，即|OB|＝|AF2|＝. 答案： 8．过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为____________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1 ，＋＝1，＝－1 ，由此可得 ＝－＝1 ，∵x2＋x1＝2x0 ，y2＋y1＝2y0 ，＝ ，∴a2＝2b2 . 又由题意知，M 的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3， 因此a2＝6，b2＝3 ，∴M的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 9．已知平面内两定点M(－1,0)，N(1,0)，动点P满足|PM|＋|PN|＝2. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线y＝x＋1与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|. 解：(1)由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆， 其中c＝1，a＝，∴b＝， ∴所求动点P的轨迹C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消y整理得5x2＋6x－3＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|AB|＝· ＝ ＝. 10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点． (1)求△ABF2的周长； (2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积． 解：由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3， ∴c＝＝. (1)△ABF2的周长L△ABF2