检测评价22 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十二） 椭圆的简单几何性质 (一)基础落实 1．椭圆x2＋＝1的短轴长为(　 ) A．6 B．3 C．1 D．2 解析：选D　因为椭圆x2＋＝1，所以b2＝1，即b＝1，所以椭圆的短轴长为2b＝2，故选 D. 2．下列四个椭圆中，形状最扁的是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选A　由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<.因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆＋＝1的离心率最大，故其形状最扁． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：选D　依题意得＝，2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1.则b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 4．(多选)已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k＜9)，下列说法正确的是(　 ) A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B．焦距相等 C．有相同的焦点 D．离心率相等 解析：选ABC　由题可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2c1＝2＝8，曲线C2的焦距为2c2＝2＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝＝，曲线C2的离心率e2＝＝，故D不正确． 5．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A. 6．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看作一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15 210万千米，最近距离为14 710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为________． 解析：设公转轨道的长半轴长为a(万千米)，半焦距为c(万千米)．由题意知解得所以离心率e＝＝. 答案： 7．写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：________. 解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则e＝＝，所以a2＝3b2.令b＝1，则a2＝3.所以满足题意的一个椭圆的标准方程为＋y2＝1. 答案：＋y2＝1(答案不唯一) 8．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是________． 解析：椭圆x2＋my2＝1的标准方程为x2＋＝1(m>0)．因为<e<1，e＝＝＝＝，所以0<<.当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，则m>；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，则0<m<.所以实数m的取值范围是∪. 答案：∪ 9．焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上． (1)求m的值． (2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率． 解：(1)由题意，点P(，1)在椭圆上， 代入得＋＝1，解得m＝2. (2)由(1)知，椭圆方程为＋＝1， 则a＝2，b＝，c＝， 所以椭圆的长轴长2a＝4；短轴长2b＝2； 焦距2c＝2；离心率e＝＝. 10．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 解：(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)． 设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． ∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20， ∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (二)综合应用 1．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　 ) A．|PF1|＋|PF2|＝2 B．离心率e＝ C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 解析：选AD　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，∴c2＝1.|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，因此A正确；e＝＝＝≠，因此B错误；当点