检测评价21 椭圆及其标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十一） 椭圆及其标准方程 (一)基础落实 1．已知点A(－3,0)，B(0,2)在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：选B　由题意得解得m2＝9，n2＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 2．若椭圆＋＝1(m＞0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为(　 ) A．5 B．3 C. D. 解析：选D　根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1，解得m＝±.又m＞0，则m＝. 3．如果方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　 ) A．(3,4) B. C. D. 解析：选D　∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴4－m>0，m－3>0且m－3>4－m，解得<m<4.故选D. 4．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　 ) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 解析：选D　|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2 ＝6＝|F1F2|，当|PF1|＋|PF2|>|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2. 5．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的(　 ) A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 解析：选A　由已知，不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知，P，即|PF2|＝.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.所以|PF1|＝.所以|PF1|＝7|PF2|. 6．椭圆x2＋2y2＝4的焦点坐标为________． 解析：椭圆方程为＋＝1，焦点在x轴，a2＝4，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝2.所以椭圆的焦点坐标为(±，0)． 答案：(，0)或(－，0) 7．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|＝14，则|AB|＝________. 解析：因为a＝6，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝24.又|AF2|＋|BF2|＝14，所以|AB|＝10. 答案：10 8．一个动圆与圆C1：x2＋(y＋3)2＝1外切，与圆C2：x2＋(y－3)2＝81内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆圆心为M，半径为r，根据题意知|MC1|＝1＋r，|MC2|＝9－r.所以|MC1|＋|MC2|＝10>|C1C2|＝6.所以圆心M的轨迹为椭圆．其中2a＝10,2c＝6，故a＝5，b＝4.因为焦点在y轴上，所以该动圆圆心轨迹方程为＋＝1. 答案：＋＝1 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； (2) c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 解： (1)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上， ∴焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知， 2a＝＋＝8， ∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13， ∴c＝5，∴b2＝a2－c2＝132－52＝144， ∵焦点所在的坐标轴不确定， ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． 解：(1)依题意知，c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，∴a2－a2＝1，即a2＝1，∴a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由于点P在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1， ∴|PF1|＝，|PF2|＝. 又|F1F2|＝2c＝2， ∴由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝. (二)综合应用 1．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由·＝0，得MF1⊥MF2，可设||＝m，||＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，∴2mn＝4a2－4c2，∴mn＝2b2，即mn＝2，∴S△F1MF2＝mn＝1.设点M到x轴的距离为h，则×|F1F2|×h＝1，又|F1F2|＝2，∴h＝. 2．中国是世界上最古老的文