检测评价17 圆的标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十七） 圆的标准方程 (一)基础落实 1．若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是(　 ) A．(2,4) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞) 解析：选D　由题意得(a－3)2＋(a－3)2>2，得a>4或a<2，即a∈(－∞，2)∪(4，＋∞)． 2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)(　 ) A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 解析：选C　∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴点P在圆内． 3．(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　 ) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M的圆心为(－4,3) C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的弦长为6 解析：选ACD　由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则A、C正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确．故选A、C、D. 4．已知A(4,9)，B(6,3)两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是(　 ) A．(x＋5)2＋(y＋6)2＝10 B．(x＋5)2＋(y＋6)2＝20 C．(x－5)2＋(y－6)2＝20 D．(x－5)2＋(y－6)2＝10 解析：选D　由A(4,9)，B(6,3)，知AB的中点坐标为(5,6)，且|AB|＝＝2，则以线段AB为直径的圆的圆心坐标为(5,6)，半径r＝，所以圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. 5．经过点P(5,2)，Q(3，－2)两点，且圆心在直线y＝2x－3上，那么该圆的圆心为(　 ) A．(1，－2) B．(－1，－5) C．(2,1) D．(0，－3) 解析：选C　由题意可知经过点P(5,2)，Q(3，－2)两点的圆的圆心在PQ的垂直平分线上，因为kPQ＝＝2，所以PQ的垂直平分线的斜率为－.又P(5,2)，Q(3，－2)的中点为(4,0)，所以PQ的垂直平分线的方程为y－0＝－(x－4)，即x＋2y－4＝0.联立解得即该圆的圆心为(2,1)． 6．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________． 解析：因为圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，所以圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1 7．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为____________． 解析：圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，则＝，∴r2＝18，又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝18. 答案：(x－1)2＋y2＝18 8．已知从点(－2,1)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆周，则反射光线所在的直线方程为________________． 解析：由题意反射光线过圆心(1,1)，又点(－2,1)与圆心连线与x轴平行，所以入射光线与x轴的交点的横坐标为＝－，即入射光线与x轴交点为.所以反射光线所在的直线方程为＝，即2x－3y＋1＝0. 答案：2x－3y＋1＝0 9．已知圆C过点A(3,1)，B(5,3)，圆心在直线y＝x上． (1)求圆C的方程； (2)判断点P(2,4)与圆C的关系． 解：(1)由题意设圆心为C(a，a)，半径为r， 则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2， 由题意得解得 所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (2)由(1)知＝＝<r，所以点 P(2,4)在圆C内． 10．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 解：(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝.则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由得即圆心坐标是C(3,2)， r＝|AC|＝＝2. ∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. (二)综合应用 1．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　 ) A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米 解析：选B　以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62 (y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝