检测评价26 抛物线及其标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十六） 抛物线及其标准方程 (一)基础落实 1．如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为(　 ) A．(1,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(－1,0) 解析：选D　由于抛物线的准线是直线x＝1，所以它的焦点为(－1,0)．故选D. 2．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是(　 ) A．y2＝20x B．x2＝20y C．y2＝x D．x2＝y 解析：选B　由5＝得p＝10.又焦点在y轴正半轴上，即抛物线方程为x2＝2py(p>0)，所以x2＝20y. 3．已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是(　 ) A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 解析：选C　因为动圆M过点F，且动圆M与直线l相切，所以圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|，即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，且定点F不在定直线l上．所以由抛物线的定义，可知圆心M的轨迹是抛物线． 4．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为(　 ) A．y2＝－16x 　 B．y2＝8x C．y2＝16x或y2＝－8x 　 D．y2＝－16x或y2＝8x 解析：选D　抛物线的准线方程为x＝－，则＝3，解得m＝8或－16.∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x. 5．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　 ) A．2 B. C. D．3 解析：选A　由抛物线定义知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线3x＋4y＋7＝0，得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 6．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为____________． 解析：由＋＝1知，a2＝9，b2＝4，所以c2＝5，椭圆的下焦点为(0，－)，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y 7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面AB宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 米． 答案：2 8．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝5，请写出满足题意的直线PF的一个方程：____________. 解析：由题意知焦点为F(0,1)．设P(x0，y0)，则|PF|＝y0＋1＝5，y0＝4，x＝4×4，x0＝±4.若P(4,4)，则kPF＝＝，直线方程为y＝x＋1，即3x－4y＋4＝0.若P(－4,4)，则kPF＝＝－，直线方程为y＝－x＋1，即3x＋4y－4＝0. 答案：3x－4y＋4＝0(或3x＋4y－4＝0) 9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． (2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点． 解：(1)∵焦点到准线的距离是2，∴2p＝4， ∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y. (2)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. 10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程． 解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1. ∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1. 又∵圆P与直线l：x＝1相切，∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′的距离相等，∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线． 设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4， ∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2＝－8x. (二)综合应用 1．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　 ) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0,4) C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点) 解析：选ACD　如图，不妨设点