检测评价25 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十五） 双曲线的简单几何性质 (一)基础落实 1．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　 ) A．{1} B．(0,1) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D　等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.故选D. 2．若点P(2,0)到双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　∵渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0， ∴＝1，∴a2＝3，∴c2＝4， ∴e＝＝＝.故选D. 3．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C　由双曲线的几何性质，得双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，所以a＝2.故选C. 4．(多选)已知双曲线C：－y2＝1，下列对双曲线C判断正确的是(　 ) A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为 D．渐近线方程为x±y＝0 解析：选BD　∵双曲线C：－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴双曲线的实轴长是2a＝2，虚轴长是2b＝2，A错误；焦距为2c＝4，B正确；离心率为＝，C错误；渐近线方程为y＝±x，D正确．故选B、D. 5．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝60°.若△F1PF2的面积为4，则a＝(　 ) A．1 B．2 C．4 D. 解析：选D　设|PF2|＝m，|PF1|＝n.由∠F1PF2＝60°，△F1PF2的面积为4， 得 即 ∴c2＝a2＋4，由离心率e＝＝，得a＝.故选D. 6．直线2x－y－10＝0与双曲线－＝1的交点坐标为________． 解析：由消去y得15x2－160x＋420＝0，即3x2－32x＋84＝0，解得x＝6或x＝.代入直线得或所以直线与双曲线的交点坐标为(6,2)，. 答案：(6,2)， 7．能说明“若mn≠0，则方程＋＝1表示的曲线为焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线”的一组m，n的值是________． 解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为－x2＝λ(λ>0)，即－＝1(λ>0)，所以(λ>0)．不妨令λ＝1，所以 答案：(答案不唯一) 8．已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为______________． 解析：由题意，得a2＝m，b2＝m＋6，则实轴长为2，虚轴长为2，由题意有2×2＝2，解得m＝2，代入－＝1，得双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 9．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|. 解：(1)由题意知，2a＝6，＝，解得a＝3，c＝5.故b2＝c2－a2＝16.所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)因为a＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上． ①若点P在双曲线的左支上，则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16. ②若点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝6， 所以|PF2|＝|PF1|－6＝4.综上，|PF2|＝16或4. 10．已知双曲线－＝1的右焦点为(2,0)． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积． 解：(1)∵双曲线的右焦点为(2,0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4.∴b2＝1.∴双曲线的方程为－y2＝1. (2)∵a＝，b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.令x＝－2，则y＝±. 设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B， 则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝××2＝. (二)综合应用 1．(多选)已知双曲线M：－＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　 ) A．M的离心率为 B．M的标准方程为x2－＝1 C．M的渐近线方程为y＝±x D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点 解析：选ACD　根据题意，双曲线M：－＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，有a2＋b2＝c2＝4①，双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一、三象限的渐近线的斜率为