检测评价24 双曲线及其标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十四） 双曲线及其标准方程 (一)基础落实 1．动点P到点M(1,0)及点N(5,0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　 ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 解析：选C　由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2<4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．故选C. 2．P是双曲线x2－y2＝16左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝(　 ) A．4 B．－4 C．8 D．－8 解析：选D　因为双曲线方程为x2－y2＝16，化为标准方程得－＝1，即a＝4，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而点P在双曲线左支上，于是|PF1|<|PF2|，∴|PF1|－|PF2|＝－8.故选D. 3．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　 ) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：选C　由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 4．设F1，F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是(　 ) A．1 B. C．2 D. 解析：选A　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝4，|F1F2|＝2，∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2，则△F1PF2的面积是|PF1|·|PF2|＝1. 5．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于________． 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 答案： 6．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为__________________． 解析：由圆的方程x2＋y2－4x－9＝0，令x＝0， 得y2－9＝0，y＝±3， ∴圆与y轴的交点坐标为(0,3)，(0，－3)， ∵圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上， ∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝3， 又∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分， ∴c＝9，即有b2＝72， ∴此双曲线的标准方程－＝1. 答案：－＝1 7．已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0,2)，则△PFM的周长的最小值为____________． 解析：设双曲线C的左焦点为F1，则|PF|－|PF1|＝2a. 由题可知a＝1，c＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，F1(－2,0)，F(2,0)， ∴MF＝2，△PFM的周长为|MF|＋|MP|＋|PF|＝2＋2＋|MP|＋|PF1|. ∵当M，P，F1三点共线时，|MP|＋|PF1|最小，最小值为|MF1|＝2， ∴△PFM的周长的最小值为2＋4. 答案：2＋4 8．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)． 解：(1)∵焦点在x轴上，且c＝， ∴设双曲线的标准方程为－＝1,0＜a2＜6. 又∵过点(－5,2)，∴－＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去)． ∴双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． ∵点A(－5,6)在双曲线上， ∴2a＝|－|＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程是－＝1. 9．已知定点A(－，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2. (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程； (2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程． 解：(1)由题意知，||PA|－|PB||＝2<|AB|＝2，故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且a＝，c＝， ∴b＝＝1，故曲线C的方程为－y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足 两式相减得＝y－y，即＝(y1－y2)(y1＋y2)， 因为点Q为MN的中点，故 ∴＝，即直线MN的斜率为，又过点Q， 故直线MN的方程为y－1＝(x－1)， 即x－2y＋1＝0. (二)综合应用