2.4.2 圆的一般方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．4.2　圆的一般方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 重点 难点 重点：圆的一般方程． 难点：圆的一般方程的应用. D2＋E2－4F＞0 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 4．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其关系如表所示： [方法技巧] 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． 答案：C　 [方法技巧]　求圆的方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定系数法 ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 [方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等定义列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 答案：C　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十八） (单击进入电子文档) 35 1．圆的一般方程的概念 (1)当______________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示以_____________为圆心，_____________为半径的圆． 2．圆的一般方程在形式上的特点 (1)x2和y2的系数相等且不为0； (2)不含xy项． 条件 方程表示的图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，为半径的圆 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0 (1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0. (2)在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但在配方后，它们的几何意义是：表示圆心，表示圆的半径． (3)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． 1．判断正误 (1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆． (　 ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． (　 ) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. (　 ) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为 (　 ) A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1) C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1) 解析： x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．故选D. 答案：D　 3．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5,0)，则圆C的半径r＝______. 解析：由题意，得－＝5，∴a＝－5， ∴r＝＝4. 答案：4 —————————————————————————————— 对圆的方程的理解 —————————————————————————————————— [典例]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 则D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ ＝|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. (2)将该方程配方为2＋2＝，根据圆的标准方程来判断． [对点训练] 1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是 (