3.2.2 双曲线的简单几何性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解双曲线的简单几何性质 (范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 2.能用双曲线的简单几何性质解决问题． 重点 难点 重点：双曲线的几何性质． 难点：双曲线几何性质的应用. (一)双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a x轴、y轴 (0,0) (－a,0) (0，－a) (a,0) (0，a) 2b 2a e＞1 续表 实轴和虚轴等长 x2－y2＝λ(λ≠0) y＝±x 2a 答案：B [方法技巧] 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．　　 答案：ABD　 [方法技巧] 由双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按“先定位，再定形”的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质． 答案：B　 答案：A　 答案：A　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（二十五） (单击进入电子文档) 66 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 _________________ _________________ 对称性 对称轴：___________，对称中心：_______ 顶点 A1_________，A2________ A1_________，A2________ 轴长 实轴长|A1A2|＝_____，虚轴长|B1B2|＝____ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝_____且______ 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 (1)等轴双曲线的定义：__________________的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为__________________； ②渐近线方程为_________，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于_____，离心率e＝_____. 3．双曲线中一些常用的结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称． (3)与双曲线－＝1具有相同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． (4)渐近线为y＝kx的双曲线的方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为ax±by＝0的双曲线的方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 1.判断正误 (1)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0. (　 ) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. (　 ) (3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)． (　 ) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝±. (　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 (　 ) A．2 B．2 C．4 D．4 答案：C 3．双曲线x2－＝1的渐近线方程为 (　 ) A．y＝±x B．y＝±3x C．y＝±x D．y＝±x 答案：A 4．王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长是4； 乙：该双曲线的虚轴长是2； 丙：该双曲线的焦距为8； 丁：该双曲线的离心率为. 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是 (　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 (二)直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点． 1．双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通