3.2.1 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.2.1　双曲线及其标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 重点 难点 重点:双曲线的定义、标准方程． 难点:双曲线标准方程、定义的应用. 定义 平面内与两个定点F1，F2的__________________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 焦点 两个______叫做双曲线的焦点 焦距 两焦点间的______叫做双曲线的焦距 集合语言 P＝{M|______________________,0<2a<|F1F2|} (一)双曲线的概念 距离的差的绝对值 定点 距离 ||MF1|－|MF2||＝2a 要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”． (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 答案：D　 解析：因为|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知A、C中动点P的轨迹为双曲线，故选A、C. 答案：AC　 (二)双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 [方法技巧] 1．求双曲线标准方程时有两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 [方法技巧] 双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．　　 答案：A　 内化素养 逻辑推理 通过题设条件推出△PF1F2为直角三角形 数学运算 双曲线的定义式、余弦定理的运算，字母、式子的运算变形或直接应用面积结论求解 [内化素养/数学运算] 焦点坐标的求解，点到直线的距离公式的应用，数字、式子的运算． “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（二十四） (单击进入电子文档) 48 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 2．(多选)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 (　 ) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 __________________ _____________________ a，b，c的关系 c2＝________ 2.双曲线中一些常用的结论 (1)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (2)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (3)双曲线上的点P(异于顶点)与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有：①定义：|r1－r2|＝2a；②余弦定理：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；③面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 1．(多选)与椭圆＋y2＝1有共同焦点的双曲线方程是 (　 ) A.－y2＝1 B．y2－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 答案：CD 2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是 (　 ) A．－3＜k＜－2 B．k＜－3 C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2 答案：A 3．设m是常数，若点F(