3.2 函数与方程、不等式之间的关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第 1 课时　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 2．通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式． 3.了解高次不等式的解法． 逐点清(一)　函数的零点 [多维度理解] 1．函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点的意义 不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图象与x轴的公共点．因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 微点助解 (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图象交点的横坐标． (2)如果方程f(x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点)．如x＝2就是函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点． [细微点练明] 1．函数y＝1＋的零点是(　 ) A．(－1,0) B．x＝0 C．－1 D．1 解析：选C　由题意，令y＝0，即1＋＝0，解得x＝－1，即函数的零点为－1. 2．下列图象表示的函数没有零点的是(　 ) 解析：选A　函数y＝f(x)的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标．A选项中函数图象与x轴没有交点，所以该函数没有零点；B选项中函数图象与x轴有一个交点，所以该函数有一个零点；C、D选项中的函数图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点． 3．函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C　函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点，即方程(x2－1)(x＋1)＝0的根，显然方程的根为－1,1，所以函数f(x)有两个零点．故选C. 4．函数f(x)＝的零点为______________． 解析：当x≥0时，由2x－4＝0，得x＝2；当x<0时，由 2x2－3x－2＝0，得 x＝－或x＝2(舍去)． 答案：2，－ 逐点清(二)　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 [多维度理解] 1．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 函数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3 函数 的图象 方程的实数根 x1＝－1，x2＝3 x1＝x2＝1 无实数根 不等式的解集 y＞0的解集为(－∞，－1) ∪(3，＋∞) y＞0的解集为(－∞，1) ∪(1，＋∞) y＞0的解集为R y＜0的解集为(－1,3) y<0的解集为∅ y<0的解集为∅ 微点助解 (1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图象、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一． (2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点． 2．利用函数求不等式解集的基本步骤 (1)把一元二次不等式化成一般形式，并把二次项系数a的符号化为正； (2)计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ； (3)求其对应一元二次方程的根； (4)写出解集(大于取两边，小于取中间)． [细微点练明] 利用函数求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5<0； (4)－4x2＋18x－>0. 解：(1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝－3，x2＝－. 又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪. (2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根x1＝4－，x2＝4＋. 又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为(4－， 4＋)． (3)对于方程x2－4x－5＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×(－5)＝36＞0，所以方程x2－4x－5＝0有两个不相等的实数根x1＝－1，x2＝5.又因为二次函数y＝x2－4x－5的图象开口向上，所以原不等式的解集为(－1,5)． (4)对于方程－4x2＋18x－＝0，因为Δ＝182－4×(－4)×＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝.又因为二次函数y＝－4x2＋18x－＞0的图象开口向下，