3.2 函数与方程、不等式之间的关系（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式． 3.了解高次不等式的解法． 3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第 1 课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1 2 目 录 3 逐点清(一) 函数的零点 逐点清(二)　二次函数的零点及其与 对应方程、不等式解集之间的关系 逐点清(三)　一元二次方程根的分布问题 2 [多维度理解] 1．函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 逐点清(一)　函数的零点 2．函数零点的意义 不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图象与x轴的公共点．因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 微点助解 (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图象交点的横坐标． (2)如果方程f(x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点)．如x＝2就是函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点． [细微点练明] 2．下列图象表示的函数没有零点的是 (　 ) 答案：A　 解析：函数y＝f(x)的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标．A选项中函数图象与x轴没有交点，所以该函数没有零点；B选项中函数图象与x轴有一个交点，所以该函数有一个零点；C、D选项中的函数图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点． 3．函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点个数是 (　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C　 解析：函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点，即方程(x2－1)(x＋1)＝0的根，显然方程的根为－1,1，所以函数f(x)有两个零点．故选C. [多维度理解] 1．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 逐点清(二)　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 函数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3 函数 的图象 方程的实数根 x1＝－1，x2＝3 x1＝x2＝1 无实数根 不等式的解集 y＞0的解集为(－∞，－1) ∪(3，＋∞) y＞0的解集为(－∞，1) ∪(1，＋∞) y＞0的解集为R y＜0的解集为(－1,3) y<0的解集为∅ y<0的解集为∅ 续表 微点助解 (1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图象、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一． (2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点． 2．利用函数求不等式解集的基本步骤 (1)把一元二次不等式化成一般形式，并把二次项系数a的符号化为正； (2)计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ； (3)求其对应一元二次方程的根； (4)写出解集(大于取两边，小于取中间)． [细微点练明] 逐点清(三)　一元二次方程根的分布问题 [方法技巧] 一元二次方程根的分布问题，往往需要注意：①图象的开口方向；②判别式；③图象的对称轴；④端点函数值的大小等．如果做题时遗漏某个方面，就可能会导致所求参数范围不正确．　　 若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，则实数a的取值范围是________． [针对训练] 解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－1，符合题意； 当a＞0时，函数图象开口向上，且f(0)＝－1＜0， “课时跟踪检测 ”见“课时跟踪检测（二十五）” (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 1．函数y＝1＋的零点是 (　 ) A．(－1,0) B．x＝0 C．－1 D．1 答案：C　 解析：由题意，令y＝0，即1＋＝0，解得x＝－1，即函数的零点为－1. 4．函数f(x)＝的零点为_________ ______________． 答案：2，－ 解析：当x≥0时，由2x－4＝0，得x＝2；当x<0时，由 2x2－3x－2＝0，得 x＝－或x＝2(舍去)． 利用函数求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5<0； (4)－4x2＋18x－>0. 解：(1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝－