3.3 幂函数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

　　　　　　3.3　幂函数(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．准确把握幂函数的图象在第一象限的特征(与幂指数α的关系)． 3．通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图象，进而研究性质． 逐点清(一)　幂函数的概念 [多维度理解] 1．幂函数的概念 幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数 幂函数的特征 (1)xα的系数为1；(2)xα的底数是自变量； (3)xα的指数为常数 2．判断幂函数的依据 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式是不是一个变量的幂的形式．反过来，若一个函数是幂函数，则该函数也必符合y＝xα(α为常数)的形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件． [细微点练明] 1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B　∵y＝＝x－2，∴是幂函数；∵y＝2x2的系数为2，∴不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，∴常函数y＝1不是幂函数． 2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则a＝(　 ) A．－1或2 B．－2或1 C．－1 D．1 解析：选C　因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1.所以a＝2或a＝－1.又a－2≠0，所以a＝－1. 3．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________. 解析：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2.∴f(x)＝x2.∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案：16 逐点清(二)　幂函数的图象 [多维度理解] 五个常见幂函数的图象 微点助解 (1)幂函数图象在第一象限的变化规律 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．如下表 幂函数y＝xα(α为常数) α>0 α<0 图象 (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． [细微点练明] 1．函数y＝x的图象是(　 ) 解析：选C　∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C. 2.已知幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　 ) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 解析：选B　在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点如图所示．则由“点低指数大”，知0<m<1，n<－1. 3．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　 ) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 解析：选B　由题图，知在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d. 逐点清(三)　幂函数的性质 [多维度理解] 五个常见幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数，x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数，x∈(－∞，0)时，减函数 微点助解 一般幂函数的性质 (1)当α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (2)当α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． [细微点练明] 1．判断正误： (1)当x∈(0,1)时，x2＞x3.(　 ) (2)y＝x与y＝x的定义域相同．(　 ) (3)若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α＞0.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．下列不等式在a<b<0的条件下不能成立的是(　 ) A．a－1>b－1 B．a<b C．b2<a2 D．a>b 解析：选D　分别构造函