3.2.1 单调性与最大（小）值（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

　　　　　　　　3.2.1　单调性与最大(小)值 第 1 课时　函数的单调性(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性． 3．理解函数单调性的作用与实际意义，会求函数的单调区间，并判断单调性． 4．能应用函数的单调性解决一些简单问题． 1．增函数与减函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图示 增、减函数 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 微点助解 对函数单调性的理解 (1)x1，x2的三个特征 ①任意性：定义中“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小：一般令x1<x2；③同区间：x1和x2属于同一个单调区间． (2)单调性的两个特性 ①“整体”性：函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． ②“局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内单调性可以不同；即使相同，单调区间与定义域也不一定相同． (3)增、减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数． 2．函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 微点助解 (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间． (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (3)对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点． [基点训练] 1．判断正误： (1)函数y＝x2在R上是增函数．(　 ) (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　 ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“∀x1，x2”改为“∃x1，x2”．(　 ) (4)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f(x)在[3,4]上也为增函数．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　 ) A．y＝－ B．y＝x C．y＝－|x| D．y＝1－x 解析：选CD　选项A、B中的函数在(0，＋∞)上都是增函数，选项C、D满足条件． 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　 ) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：选C　由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]．故选C. 题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性 [典例]　证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减． [证明]　设∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 因为2<x1<x2， 所以x2－x1>0，x>4，x>4. 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减． [方法技巧]　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 [针对训练] 试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 证明：易得f(x)＝2＋，设x1>x2>1， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0.所以f(x1)<f(x2)．所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 题型(二)　图象法求函数的单调区间 [典例]　画出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． [解]　画出函数f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调递增区间为[2，＋∞)． [方法技巧]　图象法求函数单调区间的步骤 作图 作出函数的图象 结论 上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间 [针对训练] 画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间． 解：由题意，得y＝|x|(x－2)＝ 函数的图象如图实线部分所示． 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0)和[1，＋∞)，单调递减区间为[0,1)． 题型(三)　函数单调性的简单应用 [典例]　已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.若函数f(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围．