第5章 三角函数 板块综合融会 正余弦函数图象与性质的综合（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

板块综合融会　正余弦函数图象与性质的综合　(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 探究三角函数图象与性质的过程，既需要函数周期性和奇偶性的代数推理，也需要对图形的直观想象． 2．渗透的数学思想 函数的图象与性质的研究中体现了数形结合思想，例如单调性是通过图象得来的，而奇偶性，周期性是通过诱导公式得来的，在绘制三角函数的图象时借助了奇偶性、周期性；研究三角函数的图象时通常是先研究其在一个周期内的图象与性质，再拓展到整个定义域，体现特殊到一般思想；余弦函数的图象通过诱导公式将其转化为由正弦函数图象平移得到的，体现转化与化归的思想． 融通点(一)　正、余弦函数的对称性 [典例1]　(1)函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　 ) A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝ (2)设函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为(　 ) A. B. C. D. [解析]　(1)令x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝＋kπ(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，所以C成立．经检验，其他选项都不正确．故选C. (2)由题意，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)， 解得φ＝－＋kπ(k∈Z)，所以|φ|＝(k∈Z)．当k＝1时，|φ|取得最小值为. [答案]　(1)C　(2)D [方法技巧] 对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可． [针对训练] 1．函数y＝sin的对称轴为________，对称中心为________． 解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.故函数y＝sin的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为，k∈Z. 答案：x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z 2．若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f＝f.则其解析式可以是f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可) 解析：因为对于任意的x∈R，都有f＝f， 所以函数的图象关于直线x＝对称．又由于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)＝cos 3x.因为f(－x)＝cos(－3x)＝cos 3x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．令3x＝kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称． 答案：cos 3x(答案不唯一) 融通点(二)　利用正、余弦函数的性质求参数 [典例2]　已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围是_______． [解析]　由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋.又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋＞0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈. [答案]　 [方法技巧] 已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤 首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷． [针对训练] 3．已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在区间上单调递减，则实数ω的取值范围为(　 ) A. B．(1,2] C．(0,1] D. 解析：选A　由题意有T＝≥π，可得0＜ω≤2，又由＜＋≤，必有＋≤π，可得0＜ω≤. 4．(2022·全国卷乙)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 解析：因为f(x)＝cos(ωx＋φ)，(ω＞0,0＜φ＜π)，所以最小正周期T＝，因为f(T)＝cos＝cos(2π＋φ)＝cos φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝.即f(x)＝cos.又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z.解得ω＝3＋9k，k∈Z.因为ω＞0，所以当k＝0时ωmin＝3. 答案：3 融通点(三)　正、余弦函数图象与性质的综合 [典例3]　(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　 ) A．1 B. C. D．3 [解析]　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2， 即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)， 又2＜ω＜3，所以＜ω