第5章 三角函数 板块综合融会 三角恒等变换中的“三变”策略（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

板块综合融会　三角恒等变换中的“三变”策略(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式是高考的必考点，是三角恒等变换的基础，试题一般难度不大，体现数学运算、逻辑推理的核心素养；三角恒等变换是高考考查的热点，解决相关问题时能利用“三统一”原则及模块化的解题思路进行三角函数式之间的转化，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养． 2．渗透的数学思想 (1)函数与方程的思想：函数思想是指利用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想方法，方程思想则是通过列方程或方程组求解相关量的思想方法．函数与方程思想在解决三角恒等变换问题中有着重要的应用． (2)转化与化归思想：在解决较复杂的三角函数问题时，一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为易解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．证明三角恒等式及条件求值问题中，常常是化繁为简、化异为同、化切为弦，有时逆用公式，这些都体现了转化与化归思想． 融通点(一)　变角——角的变换 [典例1]　已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值． [解]　∵0<α<，0<β<， ∴－<α－β<， 又tan(α－β)＝－，∴－<α－β<0. 又∵cos α＝，0<α<，∴sin α＝. 又tan(α－β)＝－＝，且sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1， ∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝. 从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×－×＝. [方法技巧] 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是先寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． [针对训练] 1．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选A　∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝.又＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝. 2．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值． 解：∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝，cos＝＝＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝. 融通点(二)　变名——函数名称的变换 [典例2]　(1)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________． (2)化简：. [解析]　(1)由sin α＋2cos α＝0可知，cos α≠0，则tan α＝－2，故2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1. 答案：－1 (2)原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－1. [方法技巧] “变名”是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“弦切互化”．但实际上，诱导公式、倍角公式和平方关系也能进行名变换． [针对训练] 3．已知α，β都是锐角，且tan β＝，则的值为________． 解析：显然cos α≠0，则tan β＝＝＝tan.因为α，β都是锐角，所以β＝α－.所以＝＝. 答案： 融通点(三)　变幂——升幂与降幂变换 [典例3]　化简：(0<θ<π)． [解]　原式 ＝ ＝＝. 因为0<θ<π，所以0<<，所以cos>0. 所以原式＝－cos θ. [方法技巧] 分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简求解的目的． [针对训练] 4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　 ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 解析：选B　∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B. 5．若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　3sin α＋2cos α ＝ ＝＝2， 所以3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，解得tan＝0或tan＝.又α∈(0，π)，所以tan ≠0.所以tan＝.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$