第5章 三角函数 板块综合融会 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

板块综合融会　y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合 (习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 (1)掌握参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，理解参数A，ω，φ在圆周运动中的实际意义，发展数学抽象与直观想象的核心素养． (2)理解从正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程，能用“图象变换法”叙述函数的变换过程及图象与性质间的互相转化，发展学生逻辑推理的核心素养． (3)通过对函数y＝sin x到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律的探索过程实验，培养学生的观察能力、探索问题能力和数形结合思想，领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方式． 2．渗透的数学思想 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)通过引导学生对函数y＝sin x到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律的探索，让学生体会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数A，ω，φ的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系． 融通点(一)　三角恒等变换与三角函数的综合问题 [典例1]　已知函数f(x)＝sin－4sin2ωx＋2(ω>0)，其图象与x轴的两个相邻交点的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调区间． [解]　(1)∵f(x)＝sin－4sin2ωx＋2 ＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋2 ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin， 又＝，∴T＝＝π，解得ω＝1. ∴f(x)＝sin. (2)∵将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象， ∴g(x)＝sin. ∵函数g(x)的图象经过点， ∴sin＝0，即sin＝0.∴2m－＝kπ，k∈Z.∴m＝π＋，k∈Z. ∵m>0，∴当k＝0时，m取得最小值， 此时g(x)＝sin. 令－≤x≤，则≤2x＋≤. 当≤2x＋≤或≤2x＋≤，即－≤x≤－或≤x≤时，函数g(x)单调递增； 当≤2x＋≤，即－≤x≤时，函数g(x)单调递减．∴g(x)在上的单调递增区间为，；单调递减区间为. [方法技巧] 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用． [针对训练] 1．已知函数f(x)＝cos xsin－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)＝cos x－cos2x＋＝sin x·cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin. ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x－≤. ∴－1≤sin≤.∴－≤f(x)≤. ∴函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－. 融通点(二)　与三角函数零点有关的问题 [典例2]　已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得的图象向右平移个单位长度． (1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程； (2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m的取值范围； ②请用m的式子表示cos(α－β)． [解]　(1)将g(x)＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos＝2sin x的图象，故f(x)＝2sin x．所以函数f(x)＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)． (2)①由题意，得f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x＝sin(x＋φ). 依题意，sin(x＋φ)＝在区间[0,2π)内有两个不同的解α，β，所以<1.故m的取值范围是(－，)． ②因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在区间[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝. 当1≤m<时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋